KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

198 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE
Slika 7.11: Uz problem dva tijela.
Zbrajanjem gornjih jednadžba, dolazi se do zakona o sačuvanju ukupne količine gibanja
d 2 ⃗r 1
m 1
d t + m d 2 ⃗r 2
2 2 = 0,
d t 2
d
[
]
m 1 ⃗˙r 1 + m 2 ⃗˙r
2 = 0,
d t
m 1 ⃗˙r 1 + m 2 ⃗˙r 2 = const.,
tj. ukupna količina gibanja sustava se ne mijenja u vremenu. Ako uvedemo pojam središta
mase sustava ⃗r SM
⃗r SM = m 1⃗r 1 + m 2 ⃗r 2
m 1 + m 2
,
tada je i
d 2 ⃗r 1
m 1
d t + m d 2 ⃗r 2
2 2
d t = (m 2 1 + m 2 )¨⃗r SM = 0,
pa je ˙⃗r SM = const., tj. središte mase sustava dvije čestice se giba konstantnom brzinom
(konstantnom po iznosu i po smjeru), a budući da je konstantna, onda je i jednaka brzini u
početnom trenutku. Primjetimo na ovom mjestu, da ako je jedna masa puno veća od druge,
npr. m 1 >> m 2 (kao što je to slučaj u sustavu Sunce - Zemlja), tada će se središte mase
nalaziti vrlo blizu položaja masivnijeg tijela. Taylorovim razvojem izraza za ⃗r SM po maloj
veličini m 2 /m 1 , lako se dolazi do
m 1 >> m 2 ⇒ ⃗r SM = ⃗r 1 + m 2
m 1
(⃗r 2 − ⃗r 1 ) + · · · .
Pokažimo još i da je i moment količine gibanja cijelog sustava konstantan u vremenu.
⃗r 1 × m 1⃗ ¨r 1 = ⃗r 1 × F ⃗ 2,1 ,
⃗r 2 × m 2⃗ ¨r 2 = ⃗r 2 × F ⃗ 1,2 = −⃗r 2 × F ⃗ 2,1 .