KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

162POGLAVLJE 6. GIBANJE POD DJELOVANJEM ELASTIČNE SILE: HARMONIJSKI OSCILATOR I MATEMATIČK
Period njihanja, T , se odreduje iz zahtjeva periodičnosti
ϕ(t) = ϕ(t + T ) ⇒ T = 2π
ω 0
= 2π
√
l
g . (6.57)
Vidimo da se rješavanje problema njihanja matematičkog njihala kada su amplitude male, svodi
na problem slobodnog harmonijskog oscilatora.
No, što ako amplitude nisu male? Tada postoje dva puta: egzaktno (kao u nastavku ovog
odjeljka) ili računom smetnje (kao u [18], str 130 ili u odjeljku 15.3 reference [5]).
Evo egzaktnog računa. Ako amplituda nije mala, tada zadržavanje vodećeg člana u razvoju
sinusa u (6.56) nije opravdano i treba rješavati cijelu jednadžbu (6.55). Uvedimo
i shvatimo ju kao funkciju kuta ϕ. tada je
d 2 ϕ
dt 2
ω = ω(ϕ) = dϕ
dt
= dω
dt = dω dϕ
dϕ dt = ω dω
dϕ
Uvrštavanjem ove zamjene u jednadžbu gibanja (6.55), sa varijable vremena t, prelazimo na
kutnu varijablu ϕ,
∫ ϕ
ω dω
dϕ = −g l
ωdω = − g l
sin ϕ
sin ϕ dϕ
∫ t
ωdω = − g sin ϕ dϕ
ϕ 0
l 0
1
2 ω2 (ϕ) − 1 2 ω2 (ϕ 0 ) = g [
]
cos ϕ(t) − cos ϕ(0) .
l
Uzmemo li u obzir početne uvjete: ϕ(0) = ϕ 0 , ω(0) = 0,
ω = dϕ
dt = ± √2 g l
(
cos ϕ − cos ϕ 0
)
.
/∫ t
Odlučimo se sa predznak. U vremenskom intervalu 0 ≤ t ≤ T/4, vrijeme raste, dt > 0, a kut
ϕ se smanjuje od maksimalne vrijednosti ϕ 0 do nule, tj. dϕ < 0. Zato je omjer dϕ/dt < 0
i mi u gornjem izrazu odabiremo negativni predznak (držeći na umu da smo se ograničili na
0 ≤ t ≤ T/4)
−
∫ T/4
0
√
dϕ
= − 2 g ( )
cos ϕ − cos ϕ 0
dt
l
√
dt = − T ∫
4 = l 0
2g ϕ 0
√
∫
l
ϕ0
T = 4
2g
0
dϕ
√ cos ϕ − cos ϕ0
dϕ
√ cos ϕ − cos ϕ0
= 2
√
l
g
∫ ϕ0
0
0
≡
∫ ϕ
ϕ 0
dϕ
√
sin 2 (ϕ 0 /2) − sin 2 (ϕ/2)