KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

14.4. LAGRANGEOVE JEDNADŽBE 393
(2) Pokažimo da potpuna vremenska derivacija i parcijalna derivacija po poopćenoj koordinati
komutiraju, kada djeluju na ⃗r j
( ) ( )
∂ d d ∂
⃗r j = ⃗r j . (14.8)
∂ q s d t d t ∂ q s
Iz prethodne točke (1), imamo
d ⃗r j
d t
( )
∂ d ⃗rj
∂ q s d t
= ∂ ⃗r j
∂ q 1
˙q 1 + ∂ ⃗r j
∂ q 2
˙q 2 + · · · +
∂ ⃗r j
∂ q 3N−Mh
˙q 3N−Mh + ∂ ⃗r j
∂ t
/ ∂
= ∂ 2 ⃗r j
∂ 2 ⃗r j
˙q 1 + · · · +
˙q 3N−Mh + ∂ 2 ⃗r j
. (14.9)
∂ q 1 ∂ q s ∂ q 3N−Mh ∂ q s ∂ t ∂ q s
Primjetimo sada da iz relacije ⃗r j = ⃗r j (q 1 , q 2 , · · · , q 3N−Mh ; t) slijedi da je i derivacija
∂ ⃗r j
∂ q s
takoder nekakva funkcija od tih istih q 1 , q 2 , · · · , q 3N−Mh i vremena. Zbog toga je
( )
d ∂ ⃗rj
= ∂ ( ) ∂ ⃗rj
˙q 1 + ∂ ( )
( )
∂ ⃗rj
∂ ∂ ⃗rj
˙q 2 + · · · +
˙q 3N−Mh + ∂ ( ) ∂ ⃗rj
d t ∂ q s ∂ q 1 ∂ q s ∂ q 2 ∂ q s ∂ q 3N−Mh ∂ q s ∂ t ∂ q s
= ∂ 2 ⃗r j
∂ 2 ⃗r j
˙q 1 + · · · +
˙q 3N−Mh + ∂ 2 ⃗r j
. (14.10)
∂ q 1 ∂ q s ∂ q 3N−Mh ∂ q s ∂ t ∂ q s
Usporedbom (14.9) i (14.10) se vidi da vrijedi relacija (14.8).
(3) Napišimo ponovo izraz za zamišljeni rad δW = ∑ N
j=1 ⃗ F j δ⃗r j , ali ćemo sada za silu na j-tu
česticu uvrstiti drugi Newtonov aksiom m j¨⃗rj = ⃗ F j
∂ q s
δW =
N∑
j=1
⃗F j δ⃗r j =
N∑
j=1
m j¨⃗rj δ⃗r j =
N∑
j=1
3N−M
∑ h
s=1
∂⃗r j
m j ¨⃗rj δq s .
∂ q } {{ s }
Označeni dio desne strane gornjeg izraza, možemo nadalje transformirati na slijedeći način:
( )
( )
d ∂ ⃗r j ˙⃗r j =
d t ∂ q ¨⃗r ∂ ⃗r j
j +
s ∂ q ˙⃗r d ∂ ⃗rj
j
s d t ∂ q s
⇒ ¨⃗r ∂ ⃗r j
j = d ( ) ( )
∂ ⃗r j ˙⃗r j −
∂ q s d t ∂ q ˙⃗r d ∂ ⃗rj
j
.
s d t ∂ q s
Na drugi član desne strane možemo primjeniti, u točki (2) pokazanu, komutativnost vremenske
i derivacije po q s , pa dobivamo
∂ ⃗r j ¨⃗r j = d ( )
∂ ⃗r j ˙⃗r j −
∂ q s d t ∂ q ˙⃗r ∂ ˙⃗r j
j ,
s ∂ q s
što, uvršteno u izraz za zamišljeni rad, daje
[
N∑
3N−M
∑ h
( )
d ∂ ⃗r j ∂
δW =
m j ˙⃗rj − m ˙⃗r
]
j
j ˙⃗rj δq s , (14.11)
d t ∂ q s ∂ q s
j=1
s=1