KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

204 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE
čestice) u jednakim vremenskim razmacima opisuje jednake površine (slika 7.14.B). Definirajmo
površinsku brzinu Ṡ kao omjer površine ∆ S koju u vremenu ∆ t opiše radij vektor.
∆S
Ṡ = lim
∆t→0 ∆t .
Pokažimo da je ta brzina konstantna: opisanu površinu (slika 7.14.B) možemo izraziti vektorskim
umnoškom
∆S ≃ 1 |⃗ρ × ∆⃗ρ |.
2
Umjesto znaka jednakosti doalzi znak približno jednako, jer smo zanemarili označeni dio izmedu
vektora ∆⃗ρ i linije same putanje. U granici kada ∆t postaje iščezavajuće malen, i ovaj znak
približno jednako prelazi u pravu jednakost. Iz gornjeg izraza slijedi
∆S
∆t = 1 2
∆⃗ρ
∣⃗ρ × ∆t ∣ = 1 2 |⃗ρ × ⃗v| = |⃗ L 0 |
= const. (7.49)
2m
Pod djelovanjem centralne sile, čestica se dakle giba tako da radij vektor u jednakim vremenskim
intervalima opisuje jednake površine. Kao što će se uskoro vidjeti, ova tvrdnja je sadržaj jednog
od Keplerovih zakona.
7.7 Jednadžba gibanja čestice u polju centralne sile
U prethodnom odjeljku smo zaključili da se, pod djelovanjem centralne sile, čestica giba u
ravnini. Za tu ravninu smo odabrali ravninu polarnog koordinatnog sustava. Brzinu i ubrzanje
u polarnom koordinatnom sustavu smo izračunali ranije relacijama (3.2) i (3.5)
⃗ρ ˙ = ˙ρˆρ + ρ ˙ϕ ˆϕ ,
¨⃗ρ = (¨ρ − ρ ˙ϕ 2 )ˆρ + (ρ ¨ϕ + 2 ˙ρ ˙ϕ) ˆϕ .
U slučaju kada na promatranu česticu djeluje samo centralna sila, jednadžba gibanja (drugi
Newtonov aksiom), m ¨⃗ρ = ⃗ F , glasi
ili, po komponentama
m(¨ρ − ρ ˙ϕ 2 ) ˆρ + m(ρ ¨ϕ + 2 ˙ρ ˙ϕ) ˆϕ = f(ρ) ˆρ ,
ˆρ : m (¨ρ − ρ ˙ϕ 2 ) = f(ρ), (7.50)
ˆϕ : m (ρ ¨ϕ + 2 ˙ρ ˙ϕ) = 0.
Pogledajmo najprije drugu od gornjih jednadžba. Primjetimo da je
d
[ ]
ρ 2 (t) ˙ϕ(t) = 2ρ ˙ρ ˙ϕ + ρ 2 ¨ϕ = ρ(ρ ¨ϕ + 2 ˙ρ ˙ϕ).
d t
Pomoću gornjeg rezultata, možemo drugu od jednadžba (7.50) napisati u obliku
tj.
m
ρ
d
d t (ρ2 ˙ϕ) = 0,
ρ 2 ˙ϕ = const.