KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

410 POGLAVLJE 14. LAGRANGEOVE JEDNADŽBE
gdje je L = E k − E p Lagrangeova funkcija. Po dimenzijama, funkcija djelovanja predstavlja
umnožak energije i vremena. Istim postupkom kao gore, uz promjenu oznaka
F → L, x → t, y s → q s , y ′ s → ˙q s ,
i zahtjev da je djelovanje ekstremalno
∣
d S
= 0,
d ɛ s
∣∣∣ɛs=0
od Euler - Lagrangeovih, dolazimo do Lagrangeovih jednadžba u obliku (14.16)
( )
d ∂ L
− ∂ L = 0, s = 1, 2, · · · , S.
d t ∂ ˙q s ∂ q s
Izvedimo Taylorov razvoj funkcije djelovanja u okolici točke ɛ s = 0
S (ɛ s ) = S (0) +
S∑
s=1
ɛ s
d S
d ɛ s
∣ ∣∣∣ɛs
=0
+ 1 2
S∑
s=1
S∑
s ′ =1
ɛ s ɛ s ′
d 2 S
d ɛ s d ɛ s
∣ + O(ɛ 3 ).
′ 0
Nazovemo li varijacijom djelovanja δS razliku djelovanja na pravoj (koja čini S ekstremalnom)
i variranoj putanji
δS = S (ɛ s ) − S (0),
tada, s točnošću od O(ɛ 2 ), možemo reći da se mehanički sustav giba tako da je varijacija
njegove funkcije djelovanja jednaka nuli
δS = 0. (14.28)
Budući da je na pravoj putanji mehaničkog sustava, ekstrem funkcije djelovanja najčešće
minimalan, gornji se izraz zove Hamiltonovo načelo najmanjeg djelovanja.
Primjetimo da smo polazeći od zahtjeva da je integral jedne funkcije ekstreman, došli do izraza
koji je ekvivalentan Newtonovim jednadžbama gibanja. Ili, drukčije rečeno: gibanja u prirodi
se odvijaju tako da čine ekstremnim integral Lagrangeove funkcije.
Poopćenje gornjeg postupka na neholonomne sustave se može naći u drugom poglavlju Goldsteinove
knjige [14].