KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

2.9. SVOJSTVA TRANSFORMACIJSKE MATRICE A 67
onda se ona naziva i simetrična matrica. Determinanta simetrične matrice je +1 ili −1
Ako je
|A T | · |A| = |A| 2 = 1 ⇒ |A| = ± 1.
A = −A T ⇒ a i j = −(a T ) i j = −a j i ,
onda se A nasiva antisimetrična matrica. Očito su dijagonalni elementi antisimetrične matrice
jednaki nuli. Sličnim razmatranjem kao gore, zaključuje se da je determinanta antisimetrične
matrice |A| = ± ı.
Iz gornjeg razmatranja se vidi da se svakoj kvadratnoj matrici A mogu pridružiti simetrična i
antisimetrična matrica
A s = 1 2 (A + AT ), A as = 1 2 (A − AT ),
tako da vrijedi
A = A s + A as , A T = A s − A as .
U vezi s pojmom ortogonalnosti je i pojam unitarnosti. Ukoliko su elementi matrice kompleksni,
tada se
A † = (A T ) ∗
naziva hermitski adjungirana matrica matrice A (zvjezdica označava kompleksno konjugiranje).
Unitarnom nazivamo matricu za koju je
A † A = A A † = 1.
Svaka realna ortogonalna matrica je ujedno i unitarna. Matrica koja je jednaka svojoj hermitski
adjungiranoj matrici, A † = A, zove se hermitska matrica.
Relacijom (2.90), tj. (2.91) smo vidjeli kako se transformira vektor uslijed linearne transformacije
koordinata. Sada se možemo zapitati kako se transformira operator uslijed te iste linearne
transformacije koordinata?
Neka je O proizvoljni linearni operator koji djeluje na vektor ⃗ V 1 i kao rezultat daje vektor ⃗ V 2
⃗V 2 = O ⃗ V 1 . (2.104)
Neka je A matrica linearne transformacije koordinatnih sustava. Tada je ⃗ V 2 u novom koordinatnom
sustavu dan sa ⃗ V ′ 2 = A ⃗ V 2 . Isto vrijedi i za vektor ⃗ V 1 , tj. ⃗ V ′ 1 = A ⃗ V 1
A V ⃗ 2 = A O V ⃗ 1 = A O A −1 A V ⃗ 1
⃗V ′ 2 = (A O A −1 ) V ⃗ ′ 1.
No, gornja relacija nije ništa drugo nego (2.104) napisana u transformiranom koordinatnom
sustavu. Iz toga zaključujemo da se operator O transformira iz starog u novi koordinatni
sustav relacijom
O ′ = A O A −1 , (2.105)