KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

14.8. FUNKCIJA DJELOVANJA 409
Primjenimo ovo na Euler - Lagrangeovu jednadžbu
( )
d ∂ F
d x ∂ y ′
y ′ d
d y
d
d y
( )
y ′ ∂ F
− d y ′
∂ y ′ d y
− ∂ F
∂ y
( ) ∂ F
− ∂ F
∂ y ′ ∂ y
∂ F
∂ y − ∂ F
′ ∂ y
No, posljednja dva člana lijeve strane nisu ništa drugo do
d
d y F (y, y ′ (y)) = ∂ F
∂ y + ∂ F d y ′
∂ y ′ d y ,
tako da cijela Euler - Lagrangeova jednadžba postaje
d
d y
= 0,
= 0,
= 0.
(
)
y ′ ∂ F
∂ y − F = 0 ⇒ y ′ ∂ F
− F = const. (14.27)
′ ∂ y
′
Gornji izraz se zove prvi integral Euler - Lagrangeove jednadžbe. U problemu brahistokrone,
F je zadano sa (14.26), što uvršteno u gornju jednadžbu, nakon kraćeg računa, vodi na
∫
√
dy
√
d y
d x = c1 − y
,
y
∫
= dx = x − c 2 ,
y
c 1 − y
c j = const.
Integral na lijevoj strani se rješava uvodenjem nove varijable y = c 1 sin 2 (u/2)
∫
x = c 2 + c 1 du sin 2 (u/2) = c 2 + c 1
(u − sin u).
2
Time su dobivene parametarske jednadžbe tražene krivulje
x = c 2 + c 1
(u − sin u),
2
y = c 1
(1 − cos u),
2
koje prepoznajemo kao jednažbu cikloide 7 . Dakle, brahistokrona je cikloida.
14.8 Funkcija djelovanja
Očita sličnost Euler - Lagrangeove jednadžbe (14.25) i Lagrangeove jednadžba (14.16) za holonomne
konzervativne sustave, navela je Hamiltona na razmatranje slijedećeg integrala koji je
nazvao djelovanjem (action) ili principalnom funkcijom
S =
∫ t2
t 1
L(q 1 , q 2 , · · · , q S , ˙q 1 , ˙q 2 , · · · , ˙q S ; t) dt,
7 Kako izgleda cikloida: uočimo jednu točku na kružnici koja se, bez klizanja, kotrlja po vodoravnoj podlozi - uočena točka
opisuje cikloidu.