KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

290 POGLAVLJE 10. SUSTAVI ČESTICA
Pogledajmo i koliko se promjenila kinetička energija sustava uslijed sudara. Prije sudara je
a poslije sudara
E k = 1 2 m 1 ⃗v 2
1 + 1 2 m 2 ⃗v 2
2 ,
E ′ k = 1 2 m 1 ⃗v ′ 2
1 + 1 2 m 2 ⃗v ′ 2
2 .
Promjenu kinetičke energije ćemo dobiti uvrštavanjem izraza (10.39) za ⃗v 1 ′ i ⃗v 2 ′ u razliku E k ′ −E k.
Nakon kraćeg sredivanja, dobije se
∆ E k = E k ′ − E k = − 1 m 1 m 2
(⃗v 1 − ⃗v 2 ) 2 (1 − ɛ 2 ). (10.40)
2 m 1 + m 2
Primjetimo da se ∆ E k može preglednije napisati preko reducirane mase µ definirane kao 1/µ =
1/m 1 + 1/m 2 i relativne brzine ⃗v = ⃗v 1 − ⃗v 2
∆ E k = − 1 2 µ ⃗v 2 (1 − ɛ 2 ).
Promotrimo sada neke posebne slučajeve.
Neka je ɛ = 0. Uvrštavanje u jednadžbe (10.39), daje
⃗v 1 ′ = m 1⃗v 1 + m 2 ⃗v 2
, ⃗v 2 ′ = m 1⃗v 1 + m 2 ⃗v 2
= ⃗v 1 ′ = ⃗v SM .
m 1 + m 2 m 1 + m 2
Zaključujemo da su se čestice uslijed sudara slijepile i poslije se gibaju kao jedno tijelo brzinom
⃗v 1 ′ = ⃗v 2 ′ = ⃗v SM , a smanjenje kinetičke energije (10.40) je najveće. Ovakav se sudar naziva
savršeno neelastičan.
Neka je sada ɛ = 1. Tada su brzine poslije sudara jednake
⃗v ′ 1 = (m 1 − m 2 )⃗v 1 + 2m 2 ⃗v 2
m 1 + m 2
, ⃗v ′ 2 = 2m 1⃗v 1 + (m 2 − m 1 )⃗v 2
m 1 + m 2
.
Primjetimo da je sada, prema (10.40), kinetička energija nepromjenjena E k = E k ′ , pa se ovakav
sudar naziva elastičan sudar.
10.10.2 Necentralni sudar
Promatrajmo sada dvije čestice-kugle, masa m 1 i m 2 , koje se bez trenja gibaju u ravnini (x, y) i
u njoj se necentralno sudaraju (slika 10.11). Zbog zanemarivanja trenja, gravitacijska sila neće
utjecati na gibanje. Zadatak je izračunati brzine čestica poslije sudara, ako su nam poznate
njihove brzine prije sudara. Brzine prije i poslije sudara su zadane s dva broja: to mogu biti
x i y komponente vektora brzine u pravokutnom koordinatnom sustavu ili iznos brzine i kut
prema pozitivnoj x koordinati kao u polarnom koordinatnom sustavu:
m 1 v 1 , ϕ 1 v 1, ′ ϕ ′ 1,
v 1x , v 1y v 1x, ′ v 1y,
′
m 2 v 2 , ϕ 2 v 2, ′ ϕ ′ 2.
v 2x , v 2y v 2x, ′ v 2y,
′