KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

294 POGLAVLJE 11. MALI TITRAJI SUSTAVA ČESTICA
Slika 11.1: Sustav od N vezanih jednakih harmonijskih oscilatora.
medija u kojemu se odvija titranje, s podlogom i slično).
Koordinatni sustav ćemo postaviti tako da sustav leži u smjeru osi x, ravnotežni položaj j-te
čestice ćemo označiti s x 0,j , a njezin položaj u proizvoljnom trenutku ćemo označiti s x j (t).
Napišimo jednadžbe gibanja za svih N čestica sustava: umnožak mase i ubrzanja svake čestice
jednak je zbroju svih sila koje na nju djeluju. Na svaku česticu djeluje sila koja potječe od
dvije opruge, a koja ovisi o otklonima od ravnoteže čestica na krajevima opruge (rubove lijevo
od prve i desno od N-te čestice, smatramo nepomičnim):
ˆx m ẍ 1 = −ˆx K[(x 1 − x 0,1 ) − 0 ] + ˆx K[(x 2 − x 0,2 ) − (x 1 − x 0,1 )],
ˆx m ẍ 2 = −ˆx K[(x 2 − x 0,2 ) − (x 1 − x 0,1 )] + ˆx K[(x 3 − x 0,3 ) − (x 2 − x 0,2 )],
ˆx m ẍ 3 = −ˆx K[(x 3 − x 0,3 ) − (x 2 − x 0,2 )] + ˆx K[(x 4 − x 0,4 ) − (x 3 − x 0,3 )],
.
ˆx m ẍ N−1 = −ˆx K[(x N−1 − x 0,N−1 ) − (x N−2 − x 0,N−2 )] + ˆx K[(x N − x 0,N ) − (x N−1 − x 0,N−1 )],
ˆx m ẍ N = −ˆx K[(x N − x 0,N ) − (x N−1 − x 0,N−1 )] + ˆx K[ 0 − (x N − x 0,N )].
Budući da se gibanje odvija samo u smjeru ˆx , nadalje ćemo izostavljati tu oznaku. Umjesto
samog položaja čestice, x j (t), uvedimo oznake ψ(j, t), koje opisuju otklon j-te čestice od
ravnotežnog položaja u trenutku t
ψ(j, t) ≡ x j (t) − x 0,j ,
¨ψ(j, t) = ẍ j .
/ d
2
d t 2
Primjetimo da u gornjoj oznaci ψ(j, t), varijabla j opisuje prostornu koordinatu, a t vremensku.