KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

128POGLAVLJE 6. GIBANJE POD DJELOVANJEM ELASTIČNE SILE: HARMONIJSKI OSCILATOR I MATEMATIČK
na lijevoj strani prepoznajemo vremensku derivaciju kvadrata brzine, a na desnoj strani prepoznajemo
vremensku derivaciju kvadrata pomaka
d 2 = −ω 2 d
0
dtẋ dt x2 .
Integracijom po vremenu od početnog trenutka 0 do nekog općeg t, dobivamo
∫ t
0
∫ t
d 2 dt = −ω0
2 dtẋ
∫ t
0
∫ t
d
dt x2 dt
d(ẋ 2 ) = −ω0
2 d(x 2 )
0
0
[
]
ẋ 2 (t) − ẋ 2 (0) = −ω0
2 x 2 (t) − x 2 (0) .
No, ẋ 2 (0) je kvadrat brzine u početnom trenutku, v 2 0, a x 2 (0) je kvadrat položaja čestice u
početnom trenutku, x 2 0. Uvrštavanjem se dobije izraz za brzinu u proizvoljnom trenutku
ẋ (t) ≡ dx(t)
dt
= ± ω 0
√ ( v
2
0
ω 2 0
)
√
+ x 2 0 − x 2 (t) = ± ω 0 A2 − x 2 (t). (6.5)
Pozitivan predznak brzine se odnosi na onaj dio gibanja kada se čestica pomiče desno od
položaja ravnoteže (kada je dx > 0, opruga se rasteže), a negativni se predznak odnosi na
pomak čestice lijevo od položaja ravnoteže (kada je dx < 0, opruga se sabija). Budući da je
brzina realna veličina, mora izraz pod korjenom biti veći ili jednak nuli. To je moguće samo
onda ako se gibanje čestice odvija po ograničenom dijelu osi x iz intervala −A ≤ x ≤ +A (gdje
smo se poslužili pokratom (6.3)). Opišimo gibanje počevši od proizvoljnog trenutka u kojemu
je x > 0. Prema jednadžbi (6.5), brzina se smanjuje i postaje jednaka nuli kada čestica dode u
točku x = +A. U toj točki brzina mijenja predznak i postaje negativna. Brzina ima negativne
vrijednosti sve dok čestica ne dode u točku x = −A, kada opet mijenja predznak i postaje
pozitivna, itd. Očito će brzina biti najveća u trenutku prolaska kroz položaj ravnoteže, x = 0.
Ovime smo pokazali kako iz samih jednadžba (6.2) i (6.5), a bez njihova rješavanja, možemo
zaključiti da će se čestica pod djelovanjem elastične sile, gibati periodički izmedu x = +A i
x = −A. Ovaj se zaključak ne može izvesti iz samog oblika elastične sile. Nastavimo sada
rješavati jednadžbu (6.5) tako što ćemo se ograničiti na početni uvjet v 0 > 0 i zadržati samo
pozitivni predznak. Izvedimo zatim razdvajanje varijabli
/∫
dx
+ √ = ω 0 dt
A2 − x 2
∫ x
x 0
∫
dx
t
√ = ω 0 dt
A2 − x 2 0
arcsin x ∣ x (
= ω 0 t ⇒ x(t) = A sin
A x 0
ω 0 t + arcsin x 0
A
Čitateljima prepuštamo da pokažu identičnost gornjeg rješenja s rješenjem (6.4).
)
.
Period:
Periodom T ćemo nazivati najkraći vremenski interval izmedu dva uzastopna identična položaja