KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

414 POGLAVLJE 15. HAMILTONOVE JEDNADŽBE
Vidimo da ako je sustav skleronoman (tj. vrijeme se ne pojavljuje eksplicitno)
b ≡ 0, a s ≡ 0
i kinetička energija postaje kvadratna funkcija u poopćenim brzinama. U tom slučaju se može
dalje pisati
S∑ S∑
/ ∂
E k = a s,p ˙q s ˙q p
∂ ˙q l
S∑
l=1
∂E k
∂ ˙q l
=
∂E k
∂ ˙q l
˙q l =
s=1 p=1
S∑
a l,p ˙q p +
p=1
S∑
l=1
/
S∑
S∑
a s,l ˙q s
l=1
s=1
S∑
a l,p ˙q l ˙q p +
p=1
S∑
s=1
S∑
k=1
a s,l
˙q l
˙q s ˙q l = 2E k
Ograničimo li se na konzervativne sustave kod kojih potencijalna energija ne ovisi o poopćenim
brzinama, a u skladu s gornjim izrazom, za poopćenu količinu gibanja dobivamo
p s = ∂ L
∂ ˙q s
= ∂ E k
∂ ˙q s
⇒
S∑
s=1
∂E k
∂ ˙q s
˙q s =
Uvrstimo to u izraz za Hamiltonovu funkciju i dobit ćemo
tj.
H =
S∑
s=1
S∑
p s ˙q s − L = 2E k − (E k − E p ) = E k + E p ,
s=1
p s ˙q s = 2E k
H = E k + E p . (15.3)
Hamiltonova je funkcija zbroj kinetičke i potencijalne energije cijelog sustava.
To je i jednostavan način da se napiše hamiltonijan sustava.
Konstante gibanja
Pokažimo da je H(q s , p s ) konstanta gibanja, tj. da se ne mijenja s vremenom. Ako je nešto
konstantno u vremenu, tada je njegova potpuna vremenska derivacija jednaka nuli
dH
dt =
S∑
s=1
( ∂H
∂q s
˙q s + ∂H
∂p s
ṗ s
)
= (15.2) =
S∑
(−ṗ s ˙q s + ˙q s ṗ s ) = 0,
s=1
H(q s , p s ) = E = const. (15.4)
Cikličnost
Ako hamiltonijan ne ovisi o nekoj od poopćenih koordinata, npr. o koordinati q k , tada je
ṗ k = − ∂H
∂q k
= 0 ⇒ p k = const.