KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

44 POGLAVLJE 2.
MATEMATIČKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RAČUNA
pa je
ˆϕ = ˆϕ (ϕ) = −ˆx sin ϕ + ŷ cos ϕ. (2.59)
Vektor ẑ je naprosto ẑ koji smo upoznali još kod pravokutnog koordinatnog sustava i tu se
ne treba ništa računati.
Ove jedinične vektore možemo prikazati i u obliku jednostupčanih matrica
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1
0
0
ˆρ =
⎢ 0
⎥
⎣ ⎦ , ˆϕ = ⎢ 1
⎥
⎣ ⎦ , ẑ = ⎢ 0
⎥
⎣ ⎦ ,
0
0
1
Pravokutnu i cilindričnu bazu možemo povezati matricom M
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎡
⎣ ˆρˆϕ
ẑ
⎦ = M
⎣ ˆx ŷ
ẑ
⎦ , M = ⎣
Lako je vidjeti da je inverzna matrica jednaka transponiranoj
M −1 = M T ,
cos ϕ sin ϕ 0
− sin ϕ cos ϕ 0
0 0 1
⎤
⎦ .
M T · M = M · M T = 1,
iz čega odmah slijedi
⎡
⎣ ˆx ŷ
ẑ
⎤ ⎡
⎦ = M T ⎣ ˆρˆϕ
ẑ
⎤
⎡
⎦ , M T = ⎣
cos ϕ − sin ϕ 0
sin ϕ cos ϕ 0
0 0 1
⎤
⎦ . (2.60)
U skladu s gornjom analizom, zaključujemo da se proizvoljni vektor V ⃗
jednostupčana matrica
⎡ ⎤
⃗V =
⎢
⎣
V ρ
V ϕ
⎥
⎦ .
može prikazati kao
Posebno, radij vektor je oblika
⎡
⃗r = ρ (ˆx cos ϕ + ŷ sin ϕ) + z ẑ = ρ ˆρ + z ẑ =
⎢
⎣
V z
ρ
0
z
⎤
⎥
⎦ .