KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

15.5. PRIJELAZ NA KVANTNU MEHANIKU 429
uvrste kvantni izrazi za koordinatu i količinu gibanja (15.22), što vodi na Schrödingerovu diferencijalnu
jednadžbu
( )
]
[− 2 ∂
2
2m ∂ x + ∂2
2 ∂ y + ∂2
+ E 2 ∂ z 2 p (x, y, z) Ψ(x, y, z) = E Ψ(x, y, z).
Ovisno o vrijednosti potencijalne energije, jednadžba može opisivati trodimenzijski kvantni
harmonijski oscilator s
E p = K r2
2 ,
ili, ako se za E p uvrsti elektrostatska potencijalna energija
E p = K r ,
dobije se Schrödingerova jednadžba vodikovog atoma.
Nepoznanice u gornjoj jednadžbi su energija E i valna funkcija Ψ. Ova se jednadžba može
shvatiti i kao jednadžba svojstvenih vrijednosti u kojoj operator (matrica) H djeluje na valnu
funkciju |Ψ〉 (svojstveni vektor) i kao rezultat daje neki broj (svojstvenu vrijednost, energiju
E) pomnožen tom istom valnom funkcijom (tj. tim istim svojstvenim vektorom)
H |Ψ〉 = E |Ψ〉.
Fizičko značenje
Pokazalo se da sama valna funkcija Ψ nema fizičkog značenja. Tek njezin kvadrat apsolutne
vrijednosti |Ψ(x, y, z)| 2 , se interpretira kao gustoća vjerojatnosti nalaženja čestice u malom
volumenu dx dy dz oko točke (x, y, z). Sam diferencijal vjerojatnosti je tada dan sa
d P = |Ψ(x, y, z)| 2 dx dy dz,
= |Ψ(ρ, ϕ, z)| 2 ρ dρ dϕ dz,
= |Ψ(r, θ, ϕ)| 2 r 2 sin θ dr dθ dϕ,
ovisno o tome koji se koordinatni sustav koristi. Budući da se čestica mora nalaziti negdje u
prostoru, to je vjerojatnost nalaženja čestice u bilo kojoj točki prostora jednaka jedinici. Ova
se činjenica matematički zapisuje kao
∫
|Ψ(x, y, z)| 2 dx dy dz = 1,
i naziva se normiranje valne funkcije.
∫
∫
|Ψ(ρ, ϕ, z)| 2 ρ dρ dϕ dz = 1,
|Ψ(r, θ, ϕ)| 2 r 2 sin θ dr dθ dϕ = 1.