KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

310 POGLAVLJE 11. MALI TITRAJI SUSTAVA ČESTICA
Ovaj oblik rješenja se naziva putujući ili ravni val, a potječe od D’Alemberta 4 .
Objasnimo sada naziv putujući val: neka je u t = 0, stanje titranja u proizvoljnoj točki x 0
opisano s L(x 0 ). Pitamo se u kojoj točki prostora ćemo naći to isto stanje titranja u nekom
kasnijem trenutku t > 0? Očito ćemo to isto stanje titranja naći u točki u kojoj L ima iste
vrijednosti argumenta 5 , ali sada za x ≠ x 0 i t ≠ 0, tj. za one x i t koji su rješenja jednadžbe
L(x 0 ) = L(x + v f t),
x 0 = x + v f t ⇒ x = x 0 − v f t.
Isto stanje titranja će se pojaviti u točki koja je za v f t lijevo od točke x 0 . Zaključujemo da
funkcija L opisuje val koji se širi (putuje) konstantnom brzinom v f u smjeru s desna na lijevo.
Sličnom argumentacijom zaključujemo da D(x−v f t) opisuje putujući val koji se istom brzinom
v f giba s lijeva na desno. Budući da brzina v f opisuje širenje faze vala, naziva se faznom
brzinom.
Grupna brzina:
dovršiti
Pokažimo sada kako se stojni val iz prethodnog odjeljka može dobiti kao rezultat zbrajanja
(interferencije) dva putujuća vala koji se gibaju u suprotnim smjerovima.
Neka su, kao i ranije, u početnom trenutku t = 0 položaj i brzina niti koja titra odredeni
funkcijama f 0 i g 0
ψ(x, 0) = f 0 (x),
∂ψ(x, t)
∂t
∣ = g 0 (x),
t=0
gdje su f i g funkcije definirane na intervalu [0, L]. Uvrštavanjem općeg rješenja za ψ, dobivamo
L(x) + D(x) = f 0 (x),
c L ′ (x) − c D ′ (x) = g 0 (x).
Integracijom od 0 do x, desne gornje jednadžbe, dobiva se
L(x) − L(0) − D(x) + D(0) = 1 c
∫ x
0
g 0 (η)dη.
Nazovemo li konstantu L(0) − D(0) = a 0 , dolazimo do sustava dvije jednadžbe s dvije nepoznanice:
L(x) i D(x)
s rješenjima
L(x) + D(x) = f 0 (x)
L(x) − D(x) = 1 c
L(x) = 1 2 f 0(x) + 1 2c
D(x) = 1 2 f 0(x) − 1 2c
∫ x
0
∫ x
0
∫ x
4 Jean D’Alembert, 1717. - 1783., francuski fizičar i matematičar.
5 Kada se govori o valovima, onda se ovaj argument često naziva faza.
0
g 0 (η)dη + a 0 ,
g 0 (η)dη + 1 2 a 0,
g 0 (η)dη − 1 2 a 0.