KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

2.4. VEKTORSKI DIFERENCIJALNI OPERATORI 39
i integracijom po gornjoj polusferi
∫
( −→ ∇ × V ⃗ ) dS ⃗ =
∫ π/2
S(C)
0
sin θdθ
dobijemo iti rezultat za cirkulaciju.
∫ 2π
0
dϕR 2ˆr (−3x 2 y 2 ẑ ) = −3R 6 · 1
6 · π
4
= −π
R6
8 .
Primjer: 2.9 Zadano je vektorsko polje iz primjera 2.1 ⃗ F = ˆx (2xy + z 3 ) + ŷ (x 2 + 2y) +
ẑ (3xz 2 − 2). Izračunajte −→ ∇ × ⃗ F . Razumijet li sada zašto su rezultati u (a), (b) i
(c) iz primjera 2.1 medusobno jednaki? Može li ovo polje predstavljati elektrostatsko
polje i zašto?
R: Izravnim uvrštavanjem ⃗ F u (2.44) i deriviranjem, odmah se dobiva
−→ ∇ × ⃗ F = ˆx (0 − 0) + ŷ (3z 2 − 3z 2 ) + ẑ (2x − 2x) = 0.
Polje je konzervativno (rotacija mu je jednaka nuli), pa zato linijski integrali ne ovise
o putu (ukoliko su konačne točke iste). Konzervativnost je i razlog zašto ovo polje
može predstavljati elektrostatsko polje.
Primjer: 2.10 Pokažimo da polje točkastog naboja zadovoljava drugu Maxwellovu jednadžbu
−→ ∇ × ⃗ E = 0.
R: Polje točkastog naboja iznosa q smještenog u ishodištu je
⃗E (⃗r) = 1
4πɛ 0
ili, po komponentama pravokutnog sustava
E x =
E y =
E z =
(
−→ ∇ × E ⃗ ∂ Ez
= ˆx
∂ y − ∂ E )
y
+ ŷ
∂ z
q
⃗r, (2.47)
r3 1 x
q
, (2.48)
4πɛ 0 (x 2 + y 2 + z 2 )
3/2
1 y
q
4πɛ 0 (x 2 + y 2 + z 2 ) , 3/2
1 z
q
4πɛ 0 (x 2 + y 2 + z 2 ) . 3/2
( ∂ Ex
∂ z − ∂ E )
z
+ ẑ
∂ x
( ∂ Ey
∂ x − ∂ E )
x
. (2.49)
∂ y
Izravnom derivacijom se lako dobije da je svaka od okruglih zagrada jednaka nuli,
pa je i njihov zbroj jednak nuli.