KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

445
Izračunajmo sada integral I N ako umjesto koeficijenata polinoma A n , B n uvrstimo Fourierove
koeficijente a n , b n . Označimo taj novi integral s ĨN. Prema gornjem izrazu, slijedi
∫ 2π
( )
1
Ĩ N = f 2 (x) dx − 2π
0
2 a 0a 0 + a 1 a 1 + · · · + a N a N + b 1 b 1 + · · · + b N b N
)
=
∫ 2π
0
( 1
+ π
2 a2 0 + a 2 1 + · · · + a 2 N + b 2 1 + · · · + b 2 N
[
]
f 2 1
N∑
(x) dx − π
2 a2 0 + (a 2 n + b 2 n) .
n=1
Izračunajmo razliku I N − ĨN
I N − ĨN =
−
= π
= π
∫ 2π
0
∫ 2π
0
[
1
f 2 (x) dx − 2π
f 2 (x) dx + π
[
1
2 A 0a 0 +
[
1
2 a2 0 +
2 (−2A 0a 0 + A 2 0 + a 2 0) +
[
1
N∑
2 (A 0 − a 0 ) 2 +
n=1
]
N∑
(A n a n + B n b n ) + π
n=1
]
N∑
(a 2 n + b 2 n)
n=1
[
1
2 A2 0 +
]
N∑
(A 2 n + Bn)
2
n=1
]
N∑
(−2A n a n − 2B n b n + A 2 n + Bn 2 + a 2 n + b 2 n)
n=1
[(A n − a n ) 2 + (B n − b n ) 2 ]
Budući da se na desnoj strani nalazi zbroj kvadrata realnih veličina, to će uvijek biti I N ≥ ĨN.
Dakle, najmanju vrijednost kvadratnog odstupanja (C.3) dobijemo ako za koeficijente polinoma
uvrstimo upravo Fourierove koeficijente (C.4).
]
.