KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

352 POGLAVLJE 12. RAVNINSKO GIBANJE KRUTOG TIJELA
Položaj P u sustavu (x ′ , y ′ ) ćemo označiti s ⃗r P ′ (slika 12.14.B). Neka je ⃗v P brzina točke P u
sustavu (x, y), a ⃗v O ′ neka je brzina ishodišta sustava (x ′ , y ′ ). Brzina točke P u sustavu (x ′ , y ′ )
je uvijek jednaka nuli, jer je taj sustav čvrsto vezan s tijelom, tj. giba se zajedno s njim (u
tom sustavu tijelo se vrti oko osi kroz P , a sama točka P miruje). Od ranije, (8.5), znamo za
vezu medu brzinama u inercijskom i neinercijskom sustavu: ⃗v in = ⃗ ˙
Rin + ⃗v nin + ⃗ω × ⃗r, koja
prevedena na sadašnje oznake, glasi
Sa slike 12.14 se vidi da je ⃗r P = ⃗r O ′
⃗v P = ⃗v O ′ + 0 + ⃗ω × ⃗r ′ P .
+ ⃗r P ′ , pa gornja relacija prelazi u
⃗v P = ⃗v O ′ + ⃗ω × (⃗r P − ⃗r O ′ ).
No, ako je P trenutno središte, tada ono trenutno miruje, tj. njegova je brzina jednaka nuli
⃗v P = 0 i u sustavu (x, y), pa je
⃗v O ′ = −⃗ω × (⃗r P − ⃗r O ′ ).
Da bismo gornju jednadžbu riješili po nepoznanici ⃗r P , cijelu ćemo jednadžbu pomnožiti vektorski
s ⃗ω
/
⃗ω ×
⃗v O ′ = −⃗ω × (⃗r P − ⃗r O ′ )
[
]
⃗ω × ⃗v O ′ = −⃗ω × ⃗ω × (⃗r P − ⃗r O ′ )
[
]
⃗ω × ⃗v O ′ = − ⃗ω · (⃗r P − ⃗r O ′ ) ⃗ω + ω 2 (⃗r P − ⃗r O ′ ).
Budući da vektor (⃗r P − ⃗r O ′ ) leži u ravnini (x, y), to je vektor kutne brzine ⃗ω = ω ẑ okomit na
njega, pa je prvi član desne strane gornje relacije jednak nuli. Preostaje
⃗ω × ⃗v O ′ = ω 2 (⃗r P − ⃗r O ′ ),
odakle za položaj trenutnog središta dobivamo
⃗r P = ⃗r O ′ + ⃗ω × ⃗v O ′
ω 2 . (12.15)
Primjer: 12.2 Valjak:
Valjak se giba po ravnoj podlozi. Odredite položaj trenutnog središta kada se valjak
kotrlja bez klizanja i sa klizanjem.
R: Koristimo oznake sa slike 12.15.A:
translacijska brzina središta O ′ valjka je ⃗v O ′ = v O ′ ˆx
položaj središta O ′ valjka u sustavu (x, y) je ⃗r O ′ = x O ′ (t) ˆx + R ŷ
položaj trenutnog središta u sustavu (x, y) je ⃗r P
kutna brzina vrtnje valjka je ⃗ω = −ω ẑ .
Izravnim uvrštavanjem u (12.15) dobivamo
⃗r P = ⃗r O ′ + ⃗ω × ⃗v O ′
ω 2 = ⃗r O ′ + −ωẑ × v O ′ ˆx
ω 2 = x O ′ (t) ˆx +
(R − v )
O ′
ŷ .
ω