KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

5.5. SILE OVISNE O BRZINI: (2) LORENTZOVA SILA 115
U granici β → 0, energija ostaje sačuvana.
početak balistike
5.5 Sile ovisne o brzini: (2) Lorentzova sila
Ovaj ćemo odjeljak posvetiti analizi gibanja čestice u još jednom polju sile koje nije konstantno.
To je primjer gibanja čestice koja, osim mase, posjeduje i električni naboj iznosa
q ≶ 0 i koja se giba u elektromagnetskom polju koje je konstantno i u prostoru i u vremenu.
Elektromagnetsko polje opisujemo dvama vektorima: vektorom jakosti električnog polja ⃗ E i
vektorom indukcije magnetskog polja ⃗ B . Sila koja djeluje na česticu je oblika
⃗F L = q ⃗ E + q ⃗v × ⃗ B (5.20)
i zove se Lorentzova sila 2 Sastoji se od dva člana: prvog koji predstavlja silu od električnog
polja i drugog koji predstavlja silu od magnetskog polja. Ova je druga sila osobita po tome što
ovisi o brzini čestice ⃗v = ⃗v(t) koja ne mora biti konstanatna u vremenu, pa time i cijela sila
može ovisiti o vremenu. Lorentzova je sila konzervativna, što se lako vidi ako se izračuna
rad F ⃗ L izmedu dvije točke. Za polja E ⃗ i B ⃗ konstantna u prostoru (neovisna o ⃗r) je
∫ ⃗r ∫ ⃗r
∫ ⃗r
( )
W = FL ⃗ d⃗r = (qE ⃗ + q⃗v × B ⃗ )d⃗r = qE ⃗ d⃗r
(⃗r − ⃗r 0 ) + q d⃗r ·
⃗r 0 ⃗r 0
⃗r 0
dt × B ⃗ = qE ⃗ (⃗r − ⃗r 0 )
} {{ }
= 0
koji ovisi samo o početnoj ⃗r 0 i konačnoj točki ⃗r, a ne i o obliku putanje izmedu te dvije točke.
Budući da je sila konzervativna, može joj se pridružiti potencijalna energija. O tome će više
riječi biti u odjeljku 14.6, jednadžba (14.21).
Takoder treba primjetiti i da sav rad potječe od električne komponente sile: magnetski dio ne
vrši rad, jer je magnetska komponenta sile uvijek okomita na pomak čestice (zato je magnetski
član i jednak nuli). Ovaj rad Lorentzove sile mijenja kinetičku energiju čestice, kao u (4.9), tj.
iznos brzine čestice. Vidjet ćemo da magnetska komponenta sile, iako ne mijenja iznos brzine,
mijenja njezin smjer.
Radi jednostavnosti, u ovom ćemo primjeru zanemariti utjecaj gravitacijske sile i sile trenja na
gibanje čestice. U tom slučaju, drugi Newtonov aksiom, tj. jednadžba gibanja čestice (4.4),
glasi
d 2 ⃗r
dt 2 = 1 m
(
qE ⃗ + q d⃗r )
dt × B ⃗ .
Rješenje jednadžbe gibanja je jednoznačno odredeno početnim uvjetima: neka se u trenutku
t = 0, čestica nalazi u točki ⃗r 0 i ima brzinu ⃗v 0 . Vektori polja E ⃗ i B ⃗ neka zatvaraju neki prizvoljni
kut θ. Zbog izotropnosti prostora, koordinatni sustav možemo orjentirati tako da os z ima
smjer vektora B ⃗ = Bẑ (uz B > 0), a da vektor E ⃗ leži u ravnini (y, z). Zbog homogenosti
2 Hendrick Antoon Lorentz, nizozemski fizičar, 1853 - 1928; zajedno s P. Zeemanom, 1902. god. je dobio Nobelovu nagradu za
fiziku.