KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

7.1. NEWTONOV ZAKON GRAVITACIJE 173
gdje je c 0 konstanta. Beskonačno daleko od čestica izvora gravitacijske sile, gravitacijska potencijalna
energija iščezava, tj, E p (⃗r → ∞) = 0, pa je i c 0 = 0.
Zamislimo sada da imamo dvije čestice: (m 1 , ⃗r 1 ) i (m 2 , ⃗r 2 ) na konačnoj medusobnoj udaljenosti
|⃗r 1 −⃗r 2 |. Beskonačno daleko od njih se nalazi treća čestica mase m 3 . Budući da je potencijalana
energija beskonačno razmaknutih čestica jednaka nuli, potencijalna energija sustava ove tri
čestice je jednaka naprosto potencijalnoj energiji izmedu prve i druge čestice
E p = − G m 1 m 2
|⃗r 1 − ⃗r 2 | .
Ako tu treću česticu želimo dovesti u blizinu prve dvije, u točku ⃗r 3 , gravitacijska će sila obaviti
odredeni rad i time promjeniti potencijalnu energiju sustava ove tri čestice. Prema načelu
pridodavanja, sila na česticu mase m 3 je vektorski zbroj sila od čestica masa m 1 i m 2 , pa će i
rad ukupne sile biti jednak zbroju radova pojedinih sila
∫ ⃗r3
∞
⃗F d⃗r =
∫ ⃗r3
∞
( ⃗ F 1,3 + ⃗ F 2,3 ) d⃗r = G m 1 m 3
|⃗r 1 − ⃗r 3 | + G m 2 m 3
|⃗r 2 − ⃗r 3 | .
Potencijalna energija sustava ove tri čestice se promijenila za iznos jednak ovome radu. Time
se za potencijalnu energiju sustava tri čestice dobiva izraz
(
m1 m 2
E p = − G
|⃗r 1 − ⃗r 2 | + m 1 m 3
|⃗r 1 − ⃗r 3 | + m )
2 m 3
.
|⃗r 2 − ⃗r 3 |
Protegne li se ovaj način razmišljanja na sustav od N čestica masa m j smještenih u točke ⃗r j ,
lako se dolazi do izraza za potencijalnu energiju cijele nakupine
E p = − 1 2 G
N
∑
j=1
N∑
k=1
j≠k
m j m k
|⃗r j − ⃗r k |
(7.6)
(množitelj 1/2 dolazi od dvostrukog brojanja istog para čestica u zbrajanju po j i po k).
Slično kao što se pojam polja izvodi iz pojma sile,
tako se i pojam potencijala
⃗g = ⃗ F
m ,
V = E p
m
uvodi kao potencijalna energija koju bi čestica mase m imala u točki ⃗r. Kao i potencijalna
energija, i potencijal je definiran samo u smislu razlike potencijala izmedu dvije točke, pa se
zato može napisati
d V = 1 m d E p = − 1 m ⃗ F d⃗r = −⃗g d⃗r,
što nakon integracije od početne ⃗r p do konačne točke ⃗r k , daje
V (⃗r k ) − V (⃗r p ) = −
∫ ⃗rk
⃗r p
⃗g d⃗r. (7.7)