KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

378 POGLAVLJE 13. PROSTORNO GIBANJE KRUTOG TIJELA
Primjetimo da je za konstantni Θ i projekcija središta mase zvrka na ravninu (x, y) takoder
konstantna i jednaka l sin Θ. Uz uvjet konstantnog Θ, jednadžbe (13.30) glase
)
− sin Θ
(I 1 ˙Φ 2 cos Θ − I 3 ˙Φ Ω + l m g = 0 (13.31)
Iz druge od gornjih jednadžbi slijedi da je
˙Φ = const.,
I 1 ¨Φ sin Θ = 0.
tj. zvrk precesira konstantnom brzinom. Shvatimo li prvu od gornjih jednadžba kao kvadratnu
jednadžbu u ˙Φ , nalazimo dva rješenja za kutnu brzinu precesije u ravnini (x, y) (slika 13.11.A)
˙Φ ± = I 3 Ω ± √ I3 2 Ω 2 − 4 I 1 m g l cos Θ
. (13.32)
2 I 1 cos Θ
Vidimo da su oba rješenja konstantna (jer je Θ konstantno). Ukoliko je
I 2 3 Ω 2 > 4 I 1 m g l cos Θ,
postoje dva realna rješenja za kutnu brzinu precesije: ˙Φ + i ˙Φ − . Ukoliko je
postoji samo jedno rješenje
I 2 3 Ω 2 = 4 I 1 m g l cos Θ,
˙Φ = ˙Φ + = ˙Φ − =
I 3 Ω
2 I 1 cos Θ .
Ukoliko je I 2 3 Ω 2 < 4 I 1 m g l cos Θ, nema realnih rješenja. Pogledajmo detaljnije situaciju u
kojoj se zvrk brzo vrti oko svoje osi, gdje brzo znači da je ˙Ψ >> ω j , tj. vrtnja zvrka oko svoje
osi je puno veća od svih ostalih kutnih brzina. U ovoj granici vrijedi i da je
Ω = ˙Ψ + ω 3 ≃ ˙Ψ >> ω j .
Taylorovim razvojem po maloj veličini 1/Ω , za precesijske brzine ˙Φ ± se dobiva
˙Φ ± = I 3 Ω ± I 3 Ω √ 1 − (4 I 1 m g l cos Θ)/(I3 2 Ω 2 )
2 I 1 cos Θ
[
]
I 3 Ω ± I 3 Ω − (2 I 1 m g l cos Θ)/(I 3 Ω ) + · · ·
= · · · =
,
2 I 1 cos Θ
što daje jednu veliku i jednu malu precesijsku brzinu
˙Φ + ≃
I 3 Ω
I 1 cos Θ ,
˙Φ − ≃ m g l
I 3 Ω , ˙Φ + >> ˙Φ − .
Primjetimo da je u ovom slučaju, precesijska brzina uvijek konstantna u vremenu. Hoće li zvrk
precesirati brzinom ˙Φ + ili ˙Φ − ovisi o početnim uvjetima.
Nutacija - dinamička precesija
Proučimo sada gibanje zvrka bez zahtjeva da je Θ konstantan kut (dinamička precesija). Vremenska
promjena kuta Θ se naziva nutacija. Pozovimo se na zakone sačuvanja energije i z