KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

11.3. TITRANJE PRAVOKUTNE MEMBRANE 323
Slika 11.6: Dvodimenzijska napeta membrana.
promatrani dio. Pretpostavit ćemo da je membrana male površinske gustoće (lagana membrana),
tako da je gravitacijska sila po iznosu puno manja od sile napetosti, pa ćemo ju zanemariti
u daljem računu. Zadatak je postaviti, a zatim i riješiti jednažbu gibanja za promatrani djelić
membrane: umnožak mase i ubrzanja promatranog dijela treba izjednačiti s svim silama
(napetosti) koje na njega djeluju. Masa promatranog dijela je jednostavno jednaka
σ 0 ds x ds y ,
gdje je σ 0 konstantna površinska masena gustoća, a ds x i ds y su duljine lukova promatranog
djelića. Otklon svake točke membrane u odnosu na ravninu (x, y) u danom trenutku t, ćemo
označavati s ψ(x, y, t), pa je ubrzanje odredene točke membrane
∂ 2 ψ(x, y, t)
∂ t 2 .
Pretpostavit ćemo da je gibanje djelića membrane u smjerovima paralelnim s ravninom (x, y)
puno manje od gibanja u okomitom smjeru, pa ćemo ga zanemariti. Na desnu stranu jednadžbe
gibanja dolaze sile napetosti u smjeru okomitom na ravninu (x, y), kao što je to prikazano na
slikama 11.7.A i 11.7.B, a slično računu koji smo proveli u odjeljku 11.2.2 za opis jednodimenzijskog
titranja (relacije (11.12) do (11.13)). Okomita komponenta sile na bridove CB i DA je
jednaka (sa slike 11.7.A)
(
F x = F x dy dx ∂ )
∂ x sin α x
Transformacijom sinusa kao u (11.14), dobiva se
⎧ [
F x = F x dx dy
∂ ⎨ ( ) ] ⎫
2
−1/2 [
∂ ψ ∂ ψ ⎬ (∂ ) ] 2
1 +
∂ x ⎩ ∂ x ∂ x ⎭ = F x dx dy ∂2 ψ ψ
∂ x + O 2 ∂ x
Potpuno isti postupak proveden nad silama koje djeluju na rubove duž y koordinate, označene