KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

12.5.
KINETIČKA ENERGIJA, RAD I SNAGA VRTNJE 343
Slika 12.9: Uz izvod izraza za rad koji treba obaviti da bi se tijelo dovelo u stanje vrtnje.
(neka je koordinatni sustav postavljen tako da je ⃗ω = ωẑ ). No, za mješoviti umnožak vektora,
vrijedi pravilo cikličnosti, prema kojemu je ⃗ F (⃗ω × ⃗r) = ⃗r( ⃗ F × ⃗ω ) = ⃗ω (⃗r × ⃗ F ) (što se lako može
provjeriti pomoći raspisa mješovitog umnoška u obliku determinante). Time se za diferencijal
rada vrtnje krutog tijela, dobiva
dW = ⃗ω ⃗ Mdt = M dϕ (12.12)
(što je izraz analogan izrazu za rad pri translacijskom pomaku dW = F ⃗ d⃗r).
Ukupni rad koji vanjska sila treba obaviti nad krutim tijelom da bi ga prevela iz početnog
stanja opisanog vrijednošću kuta zakreta ϕ p i kutnom brzinom ω p , u konačno stanje opisano
kutom ϕ k i kutnom brzinom ω k je zbroj (tj. integral) radova za sve male zakrete koji vode od
početnog do konačnog stanja vrtnje
W p−k =
∫ k
p
dW =
∫ ϕk
ϕ p
M dϕ =
∫ ωk
= 1 2 I ω2 k − 1 2 I ω2 p = E k,vrt (k) − E k,vrt (p).
ω p
I dω
dt ω dt = I ∫ ωk
ω p
ω dω
Da bi se tijelo koje u početku miruje (ω p = 0), dovelo u stanje vrtnje kutnom brzinom ω k = ω,
potrebno je nad tijelom obaviti rad jednak kinetičkoj energiji vrtnje Iω 2 /2. Dakle je rad
srazmjeran momentu tromosti I. Prema Steinerovu teoremu (12.8),
I = I SM + mb 2 ,
moment tromosti je najmanji ako os prolazi središtem mase, pa je i rad koji treba uložiti najmanji
ako se tijelo vrti oko osi koja prolazi središtem mase. Dakle, ako je zadatak dovesti tijelo
u stanje vrtnje kutnom brzinom ω oko osi okomite na zadanu ravninu, uz minimalni utrošak
energije, potrebno je os vrtnje postaviti tako da prolazi središtem mase.
Iz izraza (12.12) se vidi da je snaga P potrebna za obavljanje tog rada jednaka
P = dW dt
= M dϕ
dt
= M ω,