KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

32 POGLAVLJE 2.
MATEMATIČKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RAČUNA
Primjetimo da zbog toga što polje opada s kvadratom udaljenosti, a diferencijal površine raste
s kvadratom te iste udaljenosti, tok ne ovisi o polumjeru sfere, tj. isti je kroz svaku sferu.
Neka se sada točkasti naboj q nalazi unutar zatvorene plohe S proizvoljnog oblika (ne nužno
sfernog) kao na slici. Izračunajmo tok polja točkastog naboja kroz tu plohu
∮
1 q
Φ =
ˆr dS ˆn = (2.24)
2
=
S 4πɛ 0 r
1
4πɛ 0
∮S
q
dS cos α.
r2 Ako se uočeni diferencijal plohe d ⃗ S = dS ˆn nalazi na udaljenosti r od naboja i vidljiv je pod
prostornim kutom dΩ, tada je njegova projekcija na smjer ˆr s jedne strane jednaka d ⃗ S · ˆr =
dS cos α, a s druge strane to je upravo jednako diferencijalu površine kugline plohe na toj istoj
udaljenosti i pod istim prostornim kutom r 2 dΩ
r 2 dΩ = dS cos α. (2.25)
Time tok polja točkastog naboja kroz proizvoljnu plohu koja ga okružuje, postaje
Φ = 1 ∮
q dΩ = 1 q 4 π = q . (2.26)
4πɛ 0 4πɛ 0 ɛ 0
S
Tok ne ovisi niti o obliku plohe S niti o položaju naboja unutar te plohe. Ukoliko zatvorena
ploha ne sadrži naboj (ili je suma naboja unutar plohe jednaka nuli), tok električnog polja kroz
plohu je jednak nuli. Neka je tok kroz zatvorenu plohu S jednak q/ɛ 0 . Deformiramo li plohu
kao na donjoj slici, dolazimo do
dovršiti
S = S 1 + S 2 (2.27)
Φ = Φ 1 + Φ 2 .
Kako je sav naboj sadržan u plohi S 1 , to mora biti i Φ 1 = q/ɛ 0 iz čega zaključujemo da je tok
kroz zatvorenu plohu koja ne sadrži naboj, jednak nuli Φ 2 = 0. Primjetimo da iako je tok kroz
zatvorenu plohu S 2 jednak nuli, to nipošto ne znači da je i polje u unutrašnjosti plohe jednako
nuli.
Prema načelu pridodavanja sila tj. polja, tok od N točkastih naboja unutar plohe S će biti
jednak sumi tokova pojedinih naboja
ili, kraće,
⃗E (q 1 + q 2 + · · · ) = E ⃗ 1 (q 1 ) + E ⃗ 2 (q 2 ) + · · · (2.28)
∮
∮ ∮
⃗E dS ⃗ = ⃗E 1 dS ⃗ + ⃗E 2 dS ⃗ + · · · (2.29)
S
∮
S
S
= q 1
ɛ 0
+ q 2
ɛ 0
+ · · ·
⃗E d ⃗ S = 1 ɛ 0
N
∑
n=1
S
q n = Q S
ɛ 0
, (2.30)