KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

14.2. STUPNJEVI SLOBODE 387
za vrtnju oko nepomične točke. Tako smo opet došli do broja od šest koordinata tj.
šest stupnjeva slobode krutog tijela: tri od vrtnje i tri od translacije.
(B-1) Ako je jedna točka krutog tijela nepomična, onda se ono ne može gibati translacijski,
nego se može samo vrtjeti, a u (A-2) je pokazano da je tada broj stupnjeva
slobode jednak tri.
(B-2) Tri stupnja slobode za kruto tijelo s jednom nepomičnom točkom, možemo
dobiti i drugim načinom razmišljanja. Neka su koordinate nepomične točke T =
(x 1 , y 1 , z 1 ). Tada je za sve vrijeme gibanja krutog tijela
x 1 = c 1 , y 1 = c 2 , y 1 = c 3 .
za c j = const. Gornje tri jednadžbe predstavljaju dodatne uvjete u odnosu na tri
uvjetne jednadžbe slobodnog krutog tijela (14.1), tako da u ovom slučaju preostaju
6 − 3 = 3 stupnja slobode.
Ako položaji ili brzine čestica sustava ne mogu poprimati proizvoljne vrijednosti, nego samo
one vrijednosti koje zadovoljavaju odredene uvjete, onda takav sustav zovemo neslobodan
sustav čestica. Npr. dvije čestice povezane tankom nerastezivom niti su primjer neslobodnog
sustava: njihova medusobna udaljenost je uvijek manja ili jednaka duljini niti. Uvjeti na
gibanje se općenito mogu analitički izraziti tako što će izmedu položaja i brzina čestica sustava
i vremena, postojati M veza (diferencijalnih jednadžba) oblika
f m (η j , ˙η j ; t) = 0,
m = 1, 2, · · · , M
za j = 1, 2, · · · , N. Vrijeme t se pojavljuje u onim slučajevima kada se veze mijenjaju u
vremenu.
Može se dogoditi da neki od uvjeta na gibanje ne ovise o brzinama čestica sustava ˙η j .
Takvi se uvjeti zovu se holonomni 3 ili konačni ili integrabilni, a mogu se analitički izraziti
algebarskim (ne diferencijalnim) jednadžbama oblika
f m (η j ; t) = 0, m = 1, 2, · · · , M h ,
za j = 1, 2, · · · , N. S M h ≤ M je označen broj holonomnih veza. Neslobodni sustav čije je
gibanje odredeno samo holonomnim vezama (M h = M), zove se holonomni sustav. Budući da
sada imamo 3N koordinata i M h veza medu njima, zaključujemo da je samo
S = 3N − M h
od njih medusobno nezavisno (a preostale se koordinate mogu dobiti iz jednadžba uvjeta na
gibanje). U skladu s definicijom pojma stupnja slobode, kažemo da ovakav sustav ima 3N −M h
stupnjeva slobode.
Primjer: 14.4 Uzmimo jednostavni primjer sustava dvije čestice (N = 2) koje se mogu gibati
samo u ravnini (x, y), a medusobno su povezane krutim štapom (slika 14.1.A). Dvije
slobodne čestice imaju šest stupnjeva slobode 3N = 3·2 = 6. Ograničenje na gibanje
u ravnini možemo izraziti uvjetima
3 øλøζ = cijeli, potpuni; νøµøζ = zakon
z 1 = 0, z 2 = 0.