KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

262 POGLAVLJE 10. SUSTAVI ČESTICA
10.2 Središte mase
Promatrajmo diskretni sustav od N čestica čije su mase označene s m 1 , m 2 , · · · , m N , a vektori
položaja s ⃗r 1 , ⃗r 2 , · · · , ⃗r N , kao na slici 10.3.A. Središte mase se definira kao točka s vektorom
Slika 10.3: Uz definiciju središta mase (A) diskretnog i (B) kontinuiranog sustava čestica.
položaja ⃗r SM
⃗r SM = m 1 ⃗r 1 + m 2 ⃗r 2 + · · · + m N ⃗r N
m 1 + m 2 + · · · + m N
=
∑ N
j=1 m j ⃗r j
∑ N
j=1 m j
= 1 m
N∑
m j ⃗r j , (10.6)
j=1
gdje s m = ∑ N
j=1 m j označena ukupna masa sustava.
Za kontinuirani sustav koji se nalazi unutar volumena V (slika 10.3.B), središte mase se definira
tako da se cijeli volumen podjeli na male dijelove mase d m j . Ovi su dijelovi toliko mali da se
svakome može pridružiti radij vektor položaja ⃗r j koji opisuje približni položaj d m j . Središte
mase se tada računa kao
⃗r SM =
∑ N
j=1 d m j ⃗r j
∑ N
j=1 d m .
j
Ovaj način računa ⃗r SM sadrži pogrešku koja potječe od zbrajanja masa kockica sa ruba tijela:
glatke stranice kockica ne mogu pratiti općenito zaobljeni oblik tijela. Da bi se ova greška
smanjila, povećava se broj kockica, tj. smanjuje se njihov volumen. U granici kada broj
kockica N → ∞, one će savršeno dobro pratiti (proizvoljni) oblik tijela. No tada će i gornji
zbroj prijeći u integral, pa će se za položaj središta mase dobiti
∫
dm(⃗r) ⃗r
V
⃗r SM = ∫
dm(⃗r) = 1 ∫
dm(⃗r) ⃗r.
m
V
V