KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

360 POGLAVLJE 13. PROSTORNO GIBANJE KRUTOG TIJELA
Slika 13.2: Uz primjer izračunavanja kinetičke energije stošca koji se kotrlja po ravnini.
kojoj stožac dodiruje ravninu (x, y). Ovu ćemo brzinu označiti s ω = ˙χ.
Središte mase stošca se nalazi na osi simetrije, 3H/4 udaljeno od njegovog vrha.
Izračunajmo brzinu središta mase na dva načina:
(a) pomoću ˙ϕ
(b) pomoću ω
v SM = ds
dt = ρ SM dϕ
dt
= 3 4
H cos α ˙ϕ ,
v SM = r dχ = 3 H sin α ω.
dt 4
Usporedbom gornja dva izraza, dolazimo do
ω = cos α
sin α ˙ϕ = H R ˙ϕ .
Ukupnu kinetičku energiju možemo dobiti kao energiju vrtnje oko trenutnog središta.
Za to nam je potrebna brzina vrtnje oko trenutnog središta, a to je ω i
moment tromosti oko trenutnog središta, a to je moment tromosti stošca oko njegove
izvodnice
za ukupnu energiju stošca dobivamo
I izv = 3 20 mR2 (
1 + 5H2
R 2 + H 2 )
,
E = E t.s.
k,vrt = 1 2 I izvω 2 = 3
40 m H2 ˙ϕ 2 R2 + 6H 2
R 2 + H 2 .
Sustav glavnih osi krutog tijela:
Pokušajmo sada pronaći koordinatni sustav u kojemu će matrica tenzora tromosti biti dijagonalna
s dijagonalnim elementima jednakim I j za j = 1, 2, 3. Takav ćemo sustav zvati sustav