KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

22 POGLAVLJE 2.
MATEMATIČKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RAČUNA
(c) Jednadžba zadanog pravca je x = y = z, pa je time i d x = d y = d z. Uvrštavanje
ovoga u integral vodi do
∫ ∫ 1
⃗F d ⃗r = (−2 + 2x + 3x 2 + 4x 3 ) d x = 1.
c
0
Polje je konzervativno (rotacija mu je jednaka nuli), pa zato linijski integrali ne
ovise o putu (ukoliko su konačne točke iste). Konzervativnost je i razlog zašto ovo
polje može predstavljati elektrostatsko polje. Funkcija f sa svojstvom ⃗ F = −→ ∇ f tj.
F x = ∂ f / ∂ x, F y = ∂ f / ∂ y, F z = ∂ f / ∂ z, se može dobiti iz donjih jednadžba:
∂ f
∂ x = 2xy + z3 ⇒ f = x 2 y + xz 3 + c 1 (y, z)
∂ f
∂ y = x2 + 2y ⇒ f = x 2 y + xy 2 + c 2 (x, z)
∂ f
∂ x = 3xz2 − 2 ⇒ f = xz 3 − 2z + c 3 (x, y),
Gdje su c j funkcije označenih varijabla. Usporedbom ovih jednadžba, slijedi
f = x 2 y + xz 3 + y 2 − 2z + const.
2.4 Vektorski diferencijalni operatori
Za opis prostornih promjena, bilo skalarnih, s(x, y, z), bilo vektorskih, ⃗ V (x, y, z), polja, korisno
je uvesti operatore
gradijenta,
divergencije,
rotacije.
Sva su ova tri operatora izgradena od vektorskog diferencijalnog operatora nabla 5 , s oznakom
−→ ∇, koji se u pravokutnom koordinatnom sustavu definira kao
−→ ∇ = ˆx
∂
∂ x + ŷ ∂ ∂ y + ẑ ∂ ∂ z . (2.16)
Nabla je diferencijalni operator zato jer se njegovo djelovanje na neku funkciju sastoji u parcijalnom
deriviranju te funkcije po označenoj koordinati, a vektorski je operator zato jer rezultatu
deriviranja pridružuje odredeni smjer u prostoru (usmjerena derivacija).
5 Operator −→ ∇ je prvi uveo irski fizičar, astronom i matematičar, William Rowan Hamilton (o kojemu će više riječi biti u poglavlju
15). Hamilton je takoder uveo pojam vektorskog polja i definirao osnovne diferencijalne operacije nad poljima.