KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

208 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE
Do na aditivnu konstantu, potencijalna je energija
∫
E p = − f(ρ) dρ,
pa je ukupna energija
E = m ∫
2 ( ˙ρ2 + ρ 2 ˙ϕ 2 ) −
f(ρ) dρ = const. (7.54)
Uvrštavanjem ˙ϕ iz uvjeta ρ 2 ˙ϕ = L 0 /m = const., u jednadžbu (7.54), dolazi se do jednadžbe za
energiju izražene preko ρ = ρ(t)
E = m ( ) ∫
˙ρ 2 + L2 0
− f(ρ) dρ = const.
2 m 2 ρ 2
Shvatimo li još i ρ kao funkciju od ϕ(t), dolazi se do jednadžbe za energiju izražene preko
ρ = ρ(ϕ)
d ρ
= d ρ d ϕ
d t d ϕ d t = d ρ
d ϕ ˙ϕ = d ρ L 0
d ϕ mρ ,
[ 2 (
E = m ) ]
2 d ρ L 2 ∫
0
2 d ϕ m 2 ρ + L2 0
4 m 2 ρ + − f(ρ)dρ,
2
[ ( ) ]
L 2 2 ∫
0 d ρ
E =
+ ρ 2 − f(ρ)dρ.
2mρ 4 d ϕ
U terminima varijable u(ϕ) = 1/ρ(ϕ), jednadžba sačuvanja energije se može napisati kao
d ρ
d ϕ = d 1
d ϕ u = −1 d u
u 2 d ϕ ,
[ ( ) ]
2
E − E p = L2 0 1 d u
2m u4 + 1 u 4 d ϕ u 2
= L2 0
2m
[ ( ) ] 2 d u
+ u 2 ,
d ϕ
2m(E − E p )
L 2 0
=
( ) 2 d u
+ u 2 . (7.55)
d ϕ
Pomoću jednadžbe (7.54), dolazi se do izraza za proteklo vrijeme gibanja čestice. Riješimo
tu jednadžbu po nepoznanici ˙ρ
˙ρ 2 = 2 (
)
E − E p (ρ) − L2 0
m
2 m ρ 2
√ (
)
d ρ 2
= E − E p (ρ) − L2 0
(7.56)
d t m
2 m ρ 2
(zadržali smo samo pozitivan predznak, jer je na lijevoj strani iznos brzine koji je nužno pozitivan).
Sada izvedimo razdvajanje varijabli i integraciju od početnog trenutka t 0 kada se čestica