KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

5.2. GIBANJE U POLJU KONSTANTNE SILE: KOSI HITAC 107
jednadžbe (5.3), pa će zato i rješenja biti oblika (5.5)
x(t) = 0, v x (t) = 0, a x (t) = 0,
y(t) = v 0 t cos α, v y (t) = v 0 cos α, a y (t) = 0, (5.13)
z(t) = z 0 + v 0 t sin α − 1 2 gt 2 , v z (t) = v 0 sin α − gt, a z (t) = −g.
Razmislimo o gornjem rješenju. Budući da je x(t) uvijek nula, zaključujemo da se gibanje sve
vrijeme odvija u ravnini (y, z) (u odjeljku 8 ćemo uzeti u obzir i vrtnju Zemlje oko svoje osi i
tada ćemo vidjeti da ovo više neće biti istina). U smjeru osi y gibanje je jednoliko: zaista,
u smjeru osi y ne djeluju nikakve sile (gravitacija djeluje samo u smjeru osi z), pa nema ni
promjene brzine, ona je ista kao i na početku gibanja v y (t) = v y (0) = v 0 cos α. Sila djeluje
samo u smjeru osi z i u tom smjeru je gibanje sastavljeno od dvije vrste gibanja: početnog
jednolikog gibanja (konstantnom brzinom v 0 sin α ) u smjeru +ẑ i jednoliko ubrzanog
gibanja u smjeru −ẑ (padanja konstantnim ubrzanjem, g).
Izračunajmo maksimalnu visinu H koju postigne čestica kod kosog hica uz konstantnu
početnu brzinu v 0 i konstantni kut ispaljenja α. Jasno je da će čestica dostići najvišu točku
putanje u onom trenutku t = t H kada njezina okomita komponenta brzine bude jednaka nuli,
tj. kada z koordinata dostigne svoju ekstremni (maksimalni) iznos
v z (t = t H ) = d z
d t ∣ = 0 ⇒ (5.13) ⇒ t H = v 0 sin α
.
t=tH
g
To je vrijeme potrebno čestici da dostigna najvišu točku putanje. Najvišu točku, z max = H,
izračunavamo tako da u z(t) uvrstimo t H
H = z(t = t H ) = z 0 + 1 2
v0 2 sin 2 α
. (5.14)
g
Koliki je doseg, D, kosog hica uz konstantnu početnu brzinu v 0 i konstantni kut ispaljenja α.
Da bismo to izračunali, treba najprije naći vrijeme t D u kojemu će čestica ponovo pasti na tlo.
Uvjet da u trenutku t D čestica bude na tlu glasi
z(t = t D ) = 0 = z 0 + v 0 t D sin α − 1 2 gt 2 D.
Gornja kvadratna jednadžba ima formalno dva rješenja za t D . Od ta dva rješenja jedno je
manje od nule, pa ga odbacujemo jer nas zanima samo gibanje čestice nakon početnog trenutka
t = 0. Pozitivno rješenje glasi
√
t D = v 0 sin α v0 2 sin 2 α
+
+ 2z 0
g
g 2 g .
Primjetimo da ako se čestica u početku nalazila na tlu (z 0 = 0), tada je t D = 2 t H . Koordinata
y opisuje otklon od početne točke u vodoravnom smjeru, pa se doseg dobije tako da se izračuna
koliki je y(t = t D )
( √
)
D = y(t = t D ) = v 0
2
2 g sin 2α 1 + 1 + 2z 0g
v0 2 sin 2 . (5.15)
α