KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

72 POGLAVLJE 3. KINEMATIKA
Ubrzanje je omjer vektora d⃗v i skalara dt, pa je i samo vektor
⃗a = d⃗v
dt = d dt
( v · ˆv ) =
dv
dt
ˆv + v
dˆv
dt .
Po svojoj dimenziji je ubrzanje omjer duljine i kvadrata vremena
[⃗a ] = [d⃗v]
[dt] = l
t 2 ,
i, u SI sustavu mjernih jedinica, mjeri se u m s −2 . Po komponentama u pravokutnom koordinatnom
sustavu, ubrzanje je jednako
a po svojem iznosu je
⃗a = d2 ⃗r
= ˆx ẍ + ŷ ÿ + ẑ ¨z ,
dt2 a = |⃗a | = √ ẍ 2 + ÿ 2 + ¨z 2 .
Ubrzanje u cilindričnom koordinatnom sustavu. U cilindričnom koordinatnom sustavu
je brzina dan izrazom (3.2), a ubrzanje dobivamo vremenskom derivacijom brzine
⃗a = d⃗v
dt = ¨ρ ˆρ + ˙ρ ˙ˆρ + ˙ρ ˙ϕ ˆϕ + ρ ¨ϕ ˆϕ + ρ ˙ϕ ˙ˆϕ + ¨z ẑ .
U odjeljku 2 smo, relacijama (2.63) pokazali da je
dˆρ = ˆϕ dϕ,
d ˆϕ = −ˆρ dϕ.
što, uvršteno u gornji izraz za ubrzanje, daje
⃗a = (¨ρ − ρ ˙ϕ 2 )ˆρ + (2 ˙ρ ˙ϕ + ρ ¨ϕ ) ˆϕ + ¨z ẑ . (3.5)
Ubrzanje u sfernom koordinatnom sustavu. U sfernom koordinatnom sustavu je brzina
dana izrazom (3.3), a ubrzanje dobivamo vremenskom derivacijm brzine
⃗a = d⃗v
dt = ¨rˆr + ṙ ˙ˆr + ṙ ˙θ ˆθ + r¨θ ˆθ + r ˙θ ˙ˆθ + ṙ sin θ ˙ϕ ˆϕ + r cos θ ˙θ ˙ϕ ˆϕ + r sin θ ¨ϕ ˆϕ + r sin θ ˙ϕ ˙ˆϕ .
U odjeljku 2 smo, relacijama (2.70),(2.71) i (2.72) pokazali da je
dˆr = ˆθ dθ + ˆϕ sin θdϕ, dˆθ = −ˆr dθ + ˆϕ cos θdϕ, d ˆϕ = (− sin θˆr − cos θˆθ )dϕ.
što, uvršteno u gornji izraz za ubrzanje, daje
⃗a = (¨r−r ˙θ 2 −r ˙ϕ 2 sin 2 θ)ˆr +(2ṙ ˙θ +r¨θ −r ˙ϕ 2 sin θ cos θ)ˆθ +(2ṙ ˙ϕ sin θ+2r ˙θ ˙ϕ cos θ+r ¨ϕ sinθ) ˆϕ .
(3.6)
3.2 Trobrid pratilac
Promatrajmo česticu koja se giba po prostornoj krivulji C. Neka je položaj čestice u trenutku
t opisan radij vektorom −→ OP = ⃗r(t) koordinatnog sustava (O, x, y, z) (kao na slici 3.2). Pored