KLASIËCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

More documents

Recommendations

Info

Poglavlje 15 Hamiltonove jednadžbe gibanja Ako ne znaš kuda ideš, lako se može dogoditi da stigneš negdje drugdje. Alica u zemlji čudesa, Lewis Carrol Lagrangeova funkcija uvedena u prethodnom poglavlju, je funkcija poopćenih koordinata q s i poopćenih brzina ˙q s . Takoder, pomoću Lagrangeove funkcije, uveden je pojam poopćene količine gibanja p s = ∂L ∂ ˙q s . Odabir poopćenih koordinata i poopćenih brzina kao nezavisnih varijabli je, naravno, moguć, ali nije i jedini mogući izbor. U ovom će se poglavlju definirati jedna nova funkcija: Hamiltonova funkcija ili hamiltonijan, koja će biti funkcija poopćenih koordinata i poopćenih količina gibanja. (q s , ˙q s ) −→ (q s , p s ) I dok su Lagrangeove jednadžbe gibanja dane u obliku diferencijalnih jednadžba drugog reda, jednadžbe gibanja izražene preko Hamiltonove funkcije će biti diferencijalne jednadžbe prvog reda (ali će ih zato biti dvostruko više). Promatrat će se sustav od N čestica čije je gibanje ograničeno s M h holonomnih uvjeta. Ovi su uvjeti riješeni, zavisne poopćene koordinate su izražene preko nezavisnih i formirana je Lagrangeova funkcija od S = 3N − M h nezavisnih poopćenih koordinata i brzina: L(q s , ˙q s ; t), za s = 1, 2, · · · , S. Ova funkcija predstavlja ishodište u daljim računima ovog poglavlja. Neholonomni sustavi se neće tretirati u ovom poglavlju, a zainteresirani čitatelj se upućuje na studiranje prvog poglavlja Diracove knjige Lectures on Quantum Mechanics, [11]. 15.1 Hamiltonove jednadžbe Neka je zadan sustav sa S stupnjeva slobode, opisan Lagrangeovom funkcijom L(q s , ˙q s ; t). Hamiltonova je ideja bila, pronaći funkciju u kojoj će se kao varijable, umjesto poopćenih brzina pojavljivati poopćene količine gibanja. Započnimo račun tako što ćemo izračunati diferencijal 411
412 POGLAVLJE 15. HAMILTONOVE JEDNADŽBE Lagrange-ove funkcije L(q s , ˙q s ; t) d L(q s , ˙q s ; t) = S∑ s=1 ( ∂L ∂q s dq s + ∂L ∂ ˙q s d ˙q s ) + ∂L ∂ t dt. U skladu s definicijom poopćene količine gibanja (14.17) i Lagrangeovom jednadžbom (14.16) p s = ∂ L ( ) d ∂ L , − ∂ L = 0 ⇒ ∂ L = d p s ∂ ˙q s d t ∂ ˙q s ∂ q s ∂ q s d t = ṗ s, diferencijal Lagrangeove funkcije postaje d L(q s , ˙q s ; t) = S∑ ) (ṗ s dq s + p s d ˙q s s=1 + ∂L ∂ t dt. U gornjoj jednadžbi se diferencijal poopćene brzine, može izraziti kao što vodi na d ( S∑ s=1 p s ˙q s − L p s d ˙q s = d(p s ˙q s ) − dp s ˙q s , dL = ) = S∑ ] [ṗ s dq s + d(p s ˙q s ) − dp s ˙q s s=1 S∑ s=1 + ∂L ∂ t dt (−ṗ s dq s + ˙q s dp s ) − ∂L dt (15.1) ∂ t Funkcija na lijevoj strani gornje jednadžbe se zove Hamiltonova funkcija ili hamiltonijan H = S∑ p s ˙q s − L(q s , ˙q s ; t), s=1 a iz desne strane (15.1) se vidi da je hamiltonijan funkcija poopćenih koordinata, poopćenih količina gibanja i vremena H = H(q s , p s ; t), a ne poopćenih koordinata, poopćenih brzina i vremena, kao što je to lagranžijan. Budući da je općenito diferencijal funkcije poopćenih koordinata, poopćenih količina gibanja i vremena, jednak dH = S∑ s=1 ( ∂H ∂q s dq s + ∂H ∂p s dp s ) + ∂H ∂ t dt, usporedbom gornjeg izraza sa (15.1), dolazi se do Hamiltonovih kanonskih jednadžba gibanja ṗ s = − ∂H ∂q s , ˙q s = ∂H ∂p s , ∂H ∂t = −∂L ∂t , (15.2)
Page 1 and 2:
KLASIČNA MEHANIKA UVOD Zvonko Glum
Page 4 and 5:
Sadržaj 1 Uvod 1 I Mehanika jedne
Page 6 and 7:
SADRŽAJ ix 9 Specijalna teorija re
Page 8 and 9:
Ovo su bilješke s autorovih predav
Page 10 and 11:
Predgovor Iz područja teorijske me
Page 12 and 13:
Kazalo kratica i simbola ⃗A vekto
Page 14 and 15:
Poglavlje 1 Uvod Na početku svake
Page 16 and 17:
Naprotiv, snižavanjem temperature
Page 18:
Dio I Mehanika jedne čestice 5
Page 21 and 22:
8 POGLAVLJE 2. MATEMATIČKI UVOD -
Page 23 and 24:
Page 25 and 26:
Page 27 and 28:
Page 29 and 30:
Page 31 and 32:
Page 33 and 34:
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
Page 39 and 40:
Page 41 and 42:
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
Page 55 and 56:
Page 57 and 58:
Page 59 and 60:
Page 61 and 62:
Page 63 and 64:
Page 65 and 66:
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
70 POGLAVLJE 3. KINEMATIKA Slika 3.
Page 85 and 86:
72 POGLAVLJE 3. KINEMATIKA Ubrzanje
Page 87 and 88:
74 POGLAVLJE 3. KINEMATIKA Prema sa
Page 89 and 90:
76 POGLAVLJE 3. KINEMATIKA Slika 3.
Page 91 and 92:
78 POGLAVLJE 3. KINEMATIKA
Page 93 and 94:
80POGLAVLJE 4. NEWTONOVI AKSIOMI GI
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
Page 103 and 104:
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
Page 113 and 114:
100POGLAVLJE 4. NEWTONOVI AKSIOMI G
Page 115 and 116:
102 POGLAVLJE 5. GIBANJE ČESTICE U
Page 117 and 118:
Page 119 and 120:
Page 121 and 122:
Page 123 and 124:
Page 125 and 126:
Page 127 and 128:
Page 129 and 130:
Page 131 and 132:
Page 133 and 134:
Page 135 and 136:
Page 137 and 138:
Page 139 and 140:
126POGLAVLJE 6. GIBANJE POD DJELOVA
Page 141 and 142:
Page 143 and 144:
Page 145 and 146:
Page 147 and 148:
Page 149 and 150:
Page 151 and 152:
Page 153 and 154:
Page 155 and 156:
Page 157 and 158:
Page 159 and 160:
Page 161 and 162:
Page 163 and 164:
Page 165 and 166:
Page 167 and 168:
Page 169 and 170:
Page 171 and 172:
Page 173 and 174:
Page 175 and 176:
Page 177 and 178:
Page 179 and 180:
166 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENT
Page 181 and 182:
Page 183 and 184:
Page 185 and 186:
Page 187 and 188:
Page 189 and 190:
Page 191 and 192:
Page 193 and 194:
Page 195 and 196:
Page 197 and 198:
Page 199 and 200:
Page 201 and 202:
Page 203 and 204:
Page 205 and 206:
Page 207 and 208:
Page 209 and 210:
Page 211 and 212:
Page 213 and 214:
Page 215 and 216:
Page 217 and 218:
Page 219 and 220:
Page 221 and 222:
Page 223 and 224:
Page 225 and 226:
Page 227 and 228:
Page 229 and 230:
Page 231 and 232:
Page 233 and 234:
Page 235 and 236:
Page 237 and 238:
Page 239 and 240:
Page 241 and 242:
Page 243 and 244:
230 POGLAVLJE 8. INERCIJSKI I NEINE
Page 245 and 246:
Page 247 and 248:
Page 249 and 250:
Page 251 and 252:
Page 253 and 254:
Page 255 and 256:
Page 257 and 258:
Page 259 and 260:
Page 261 and 262:
Page 263 and 264:
Page 265 and 266:
252 POGLAVLJE 9. SPECIJALNA TEORIJA
Page 268 and 269:
Poglavlje 10 Sustavi čestica 10.1
Page 270 and 271:
10.1. DISKRETNI I KONTINUIRANI SUST
Page 272 and 273:
Page 274 and 275:
Page 276 and 277:
10.2. SREDIŠTE MASE 263 Uvedu li s
Page 278 and 279:
10.3. KOLIČINA GIBANJA SUSTAVA ČE
Page 280 and 281:
10.4. MOMENT KOLIČINE GIBANJA SUST
Page 282 and 283:
10.5. ENERGIJA SUSTAVA ČESTICA 269
Page 284 and 285:
10.5. ENERGIJA SUSTAVA ČESTICA 271
Page 286 and 287:
10.6. GIBANJE SUSTAVA ČESTICA U OD
Page 288 and 289:
10.6. GIBANJE SUSTAVA ČESTICA U OD
Page 290 and 291:
10.8. LAGRANGEOVO I D’ALEMBERTOVO
Page 292 and 293:
Page 294 and 295:
Page 296 and 297:
10.9. SUSTAVI S PROMJENJIVOM MASOM:
Page 298 and 299:
10.9. SUSTAVI S PROMJENJIVOM MASOM:
Page 300 and 301:
10.10. SUDARI ČESTICA 287 kao savr
Page 302 and 303:
10.10. SUDARI ČESTICA 289 Pomoću
Page 304 and 305:
10.10. SUDARI ČESTICA 291 Slika 10
Page 306 and 307:
Poglavlje 11 Mali titraji sustava
Page 308 and 309:
11.1. MALI LONGITUDINALNI TITRAJI J
Page 310 and 311:
Page 312 and 313:
Page 314 and 315:
Page 316 and 317:
11.2. MALI TRANSVERZALNI TITRAJI KO
Page 318 and 319:
Page 320 and 321:
Page 322 and 323:
Page 324 and 325:
Page 326 and 327:
Page 328 and 329:
Page 330 and 331:
Page 332 and 333:
Page 334 and 335:
Page 336 and 337:
11.3. TITRANJE PRAVOKUTNE MEMBRANE
Page 338 and 339:
Page 340 and 341:
Page 342 and 343:
11.4. TITRANJE KRUŽNE MEMBRANE 329
Page 344 and 345:
11.4. TITRANJE KRUŽNE MEMBRANE 331
Page 346 and 347:
Poglavlje 12 Ravninsko gibanje krut
Page 348 and 349:
12.2. MOMENT TROMOSTI 335 Slika 12.
Page 350 and 351:
12.3. TEOREMI O MOMENTIMA TROMOSTI
Page 352 and 353:
12.4. PAROVI SILA 339 Slika 12.6: U
Page 354 and 355:
12.5. KINETIČKA ENERGIJA, RAD I SN
Page 356 and 357:
12.5. KINETIČKA ENERGIJA, RAD I SN
Page 358 and 359:
12.6. FIZIČKO NJIHALO 345 Slika 12
Page 360 and 361:
12.6. FIZIČKO NJIHALO 347 postaje
Page 362 and 363:
12.7. OPĆENITO RAVNINSKO GIBANJE K
Page 364 and 365:
12.8. TRENUTNO SREDIŠTE VRTNJE 351
Page 366 and 367:
12.8. TRENUTNO SREDIŠTE VRTNJE 353
Page 368 and 369:
Poglavlje 13 Prostorno gibanje krut
Page 370 and 371:
13.1. TENZOR TROMOSTI 357 što, ras
Page 372 and 373:
13.1. TENZOR TROMOSTI 359 i tijelo
Page 374 and 375: 13.1. TENZOR TROMOSTI 361 glavnih o
Page 376 and 377: 13.1. TENZOR TROMOSTI 363 Slika 13.
Page 378 and 379: 13.2. EULEROVE JEDNADŽBE GIBANJA 3
Page 380 and 381: 13.3. GIBANJE ZEMLJE 367 Slika 13.5
Page 382 and 383: 13.3. GIBANJE ZEMLJE 369 Vidimo da
Page 384 and 385: 13.4. EULEROVI KUTOVI 371 Slika 13.
Page 386 and 387: 13.4. EULEROVI KUTOVI 373 Lako je v
Page 388 and 389: 13.5. GIBANJE ZVRKA 375 Slika 13.10
Page 390 and 391: 13.5. GIBANJE ZVRKA 377 Ako na desn
Page 392 and 393: 13.5. GIBANJE ZVRKA 379 Slika 13.11
Page 394 and 395: 13.5. GIBANJE ZVRKA 381 postoje dva
Page 396: Dio III Analitička mehanika 383
Page 399 and 400: 386 POGLAVLJE 14. LAGRANGEOVE JEDNA
Page 423: 410 POGLAVLJE 14. LAGRANGEOVE JEDNA
Page 427 and 428: 414 POGLAVLJE 15. HAMILTONOVE JEDNA
Page 445 and 446: 432 DODATAK A. DELTA FUNKCIJA sluč
Page 447 and 448: 434 DODATAK A. DELTA FUNKCIJA Budu
Page 449 and 450: 436 DODATAK A. DELTA FUNKCIJA
Page 451 and 452: 438 DODATAK B. PRESJECI STOŠCA Sli
Page 453 and 454: 440 DODATAK B. PRESJECI STOŠCA Za
Page 455 and 456: 442 DODATAK B. PRESJECI STOŠCA jer
Page 457 and 458: 444 DODATAK C. FOURIEROVI REDOVI za
Page 459 and 460: 446 DODATAK C. FOURIEROVI REDOVI
Page 461 and 462: 448 DODATAK D. VUČEDOLSKI KALENDAR
Page 463 and 464: 450 DODATAK D. VUČEDOLSKI KALENDAR
Page 465 and 466: 452 BIBLIOGRAFIJA [19] Kotkin G. L.
Page 467: 454 KAZALO POJMOVA Steiner, Jakob,
show all

KLASIËCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

KLASIËCNA MEHANIKA - Studentske web stranice