KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

Poglavlje 10
Sustavi čestica
10.1 Diskretni i kontinuirani sustavi čestica
U prethodnim smo poglavljima razmatrali objekte čije se gibanje može opisati kao gibanje
čestice, tj. objekta konačne mase, ali beskonačno malog volumena. Sada ćemo promatrati
gibanja objekata kod kojih aproksimacija česticom nije opravdana. To će biti sustavi izgradeni
od mnoštva čestica.
Ako smo u mogućnosti razlikovati pojedine čestice sustava, govorit ćemo o diskretnom sustavu
čestica, gdje ćemo sa ⃗r j i m j označavati položaj i masu j-te čestice sustava za j = 1, · · · , N.
Ukupna masa sustava m je naprosto jednaka zbroju masa pojedinih čestica sustava
m =
N∑
j=1
m j .
Ako pojedine čestice sustava ne možemo razlikovati, nego su one približno kontinuirano raspodjeljene
u jednom dijelu prostora (onako kako smo to opisali u poglavlju o gravitaciji, str.
170), tada govorimo o kontinuiranom sustavu čestica. Raspodjela mase u prostoru se opisuje
funkcijom koja se zove masena gustoća.
Volumna masena gustoća:
Raspodjela mase tijela koja se protežu u trodimenzijskom prostoru, se opisuje volumnom masenom
gustoćom ρ m (⃗r)
ρ m (⃗r) = lim
∆V →0
[ρ m ] = [m]
[l 3 ] ,
∆ m
∆ V = d m
d V ,
gdje je d V ≡ d 3 r diferencijal volumena u okolini točke ⃗r (slika 10.2.A), a dm je masa sadržana
u tom volumenu. Uglatom zagradom je označena dimenzija gustoće. Ako ρ m (⃗r) ima istu
vrijednost u svim točkama sustava, onda je gustoća konstantna i jednaka je omjeru ukupne
mase m i ukupnog volumena V sustava, ρ m = m/V . Za zadanu volumnu gustoću, masa m(V 0 )
sustava sadržana u dijelu volumena V 0 < V , računa se kao
∫
m(V 0 ) = ρ m (⃗r) dV.
V 0
255