KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

342 POGLAVLJE 12. RAVNINSKO GIBANJE KRUTOG TIJELA
Momenti:
Izračunajmo i moment količine gibanja krutog tijela koje se vrti oko nepomične osi.
momenta količine gibanja j-tog djelića tijela je
Iznos
⃗L j = ⃗r j × ⃗p j = ⃗r j × m j ⃗v j = r jˆr j × m j v j ˆϕ j = r j m j v j (−ˆθ j )
= r j m j v j (−ˆx cos θ j cos ϕ j − ŷ cos θ j sin ϕ j + ẑ sin θ j ).
Smjer vektora ⃗ L je odreden smjerom vektorskog umnoška ˆr × ˆϕ = −ˆθ i činjenicom da je
(vanjskim silama) smjer osi vrtnje nepromjenjiv. Smjer ˆθ se može rastaviti na komponentu okomitu
na os vrtnje i komponentu paralelnu s osi vrtnje. Komponete ⃗ L okomite na smjer vrtnje
(to su L x i L y komponente) bi htjele promijeniti smjer osi vrtnje, ali ih u tome sprječavaju vanjske
sile koje drže os vrtnje nepomičnom. Ove se komponente dakle poništavaju s djelovanjem
vanjskih sila i preostaje samo komponenta paralelna s osi vrtnje (to je L z komponenta).
⃗L j = m j r j v j sin θ j ẑ = m j r j,⊥ v j ẑ = m j r 2 j,⊥ ω ẑ ,
pa je ukupni iznos momenta količine gibanja
⃗L =
N∑
j=1
⃗L j =
N∑
j=1
m j r 2 j,⊥ ⃗ω = I ⃗ω . (12.11)
Ranije smo, relacijom (10.15), pokazali da je ˙ ⃗ L = ⃗ M. Primjenimo li to na gornji izraz za ⃗ L ,
slijedi
d
dt I ⃗ω = I ⃗α = ⃗ M,
gdje smo s ⃗α = ˙ ⃗ω označili kutno ubrzanje, tj. vremensku promjenu kutne brzine vrtnje. Smjer
vrtnje je nepromjenjiv u vremenu, pa se vremenska derivacija odnosi samo na promjenu iznosa
kutne brzine. Za tijelo koje se vrti, gornja je relacija analogon drugog Newtonovog aksioma
m⃗a = ⃗ F , gdje umjesto sile dolazi moment sile, umjesto mase dolazi moment tromosti, a umjesto
ubrzanja dolazi kutno ubrzanje.
Rad i snaga:
Ako na tijelo djeluju samo konzervativne vanjske sile, tada se tijelu može pridružiti potencijalana
energija E p , a zbroj kinetičke energije vrtnje i potencijalne energije je konstantan
E k,vrt + E p = 1 2 I ω2 + E p = E = const.
Promotrimo sada kruto tijelo koje u početku miruje, ali se može vrtjeti oko osi okomite na
zadanu ravninu, a koja prolazi točkom O tijela (slika 12.9.A). Sila ⃗ F koja izaziva vrtnju tijela,
djeluje u točki A (slika 12.9.B) i stvara moment sile ⃗ M. Izračunajmo koliki rad treba
obaviti vanjska sila ⃗ F , da bi u kratkom vremenu dt zakrenula kruto tijelo za mali kut dϕ. U
tom kratkom vremenskom intervalu je sila približno konstantna, pa je prema općoj definiciji
diferencijala rada
dW = ⃗ F d⃗r = ⃗ F d⃗r
dt dt = ⃗ F ⃗v dt = ⃗ F (⃗ω × ⃗r) dt,