KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

2.9. SVOJSTVA TRANSFORMACIJSKE MATRICE A 65
gdje smo s a ′ i j označili matrične elemente inverzne transformacije. Uvrštavanjem gornje dvije
relacije jedne u drugu, dobivamo
(
3∑ 3∑
3∑ 3∑
)
V k ′ = a k i a ′ i j V j ′ = a k i a ′ i j V j ′ .
i=1 j=1
j=1 i=1
Da bi gornja jednakost mogla vrijediti, mora biti izraz u zagradi jednak δ j k
ili matrično
3∑
i=1
a k i a ′ i j = δ j k , (2.96)
A A −1 = 1,
gdje je 1 jedinična 3 × 3 matrica
⎡
1 =
⎢
⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤
⎥
⎦
koja predstavlja identičnu transformaciju
⃗V = 1 · ⃗ V , A · 1 = 1 · A = A.
Koristeći (2.95) možemo doći do slijedeće veze
V i =
3∑
j=1
a ′ i j V ′
j =
3∑
j=1
a ′ i j
3∑
k=1
a j k V k =
3∑
k=1
( 3∑
j=1
a ′ i j a j k
)
Usporedbom lijeve i desne strane gornje relacije, zaključujemo da okrugla zagrada mora biti
jednaka δ i k
3∑
a ′ i j a j k = δ i k , (2.97)
ili matrično
j=1
A −1 A = 1.
Iz (2.96) i (2.97) vidimo da vrijedi A A −1 = A −1 A = 1. Da bismo izračunali matrične
elemente inverzne matrice, promotrimo slijedeći dvostruki zbroj
V k .
3∑
k=1
3∑
i=1
a k l a k i a ′ i j. (2.98)
Primjetimo da je, prema (2.92) ∑ 3
k=1 a k l a k i = δ i l , pa je gornji zbroj jednak
3∑
δ i l a ′ i j = a ′ l j. (2.99)
i=1