KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

386 POGLAVLJE 14. LAGRANGEOVE JEDNADŽBE
sustavu), koje ćemo označavati s η 1 , η 2 , · · · , η 3N . U svakom trenutku t, svaka od 3N pravokutnih
koordinata, se može izraziti preko svih ili samo nekih od varijabla η j
x j = x j (η 1 , η 2 , · · · , η 3N ; t), y j = y j (η 1 , η 2 , · · · , η 3N ; t), z j = z j (η 1 , η 2 , · · · , η 3N ; t).
14.2 Stupnjevi slobode
Uvedimo pojam broja stupnjeva slobode sustava čestica, S. Pod brojem stupnjeva
slobode ćemo podrazumjevati najmanji broj medusobno nezavisnih skalarnih veličina nužnih
za odredivanje položaja svih čestica sustava.
Primjer: 14.1 Za odredivanje položaja jedne čestice koja se slobodno giba u trodimenzijskom
prostoru, su potrebne tri koordinate: (x, y, z), (η 1 , η 2 , η 3 ), (r, θ, ϕ) ili nešto slično.
Zato je broj stupnjeva slobodne jedne slobodne čestice u trodimenzijskom prostoru,
jednak tri (tj. D u općenitom D-dimenzijskom prostoru).
Primjer: 14.2 Za odredivanje položaja sustava koji se sastoji od N čestica koje se slobodno
gibaju u trodimenzijskom prostoru, potrebno je odrediti položaj svake od čestica
sustava, a položaj svake čestice je odreden s tri koordinate. Prema tome, ukupan
broj koordinata potrebnih za odredivanje položaja sustava je 3 N, tj. toliki je broj
stupnjeva slobode.
Primjer: 14.3 Koliko stupnjeva slobode ima kruto tijelo:
(A) koje se može slobodno gibati u trodimenzijskom prostoru,
(B) koje ima jednu svoju točku nepomičnu, ali se može gibati oko te točke?
R: (A-1) Položaj krutog tijela u prostoru je jednoznačno odreden poznavanjem
koordinata njegove tri nekolinearne točke. Neka su koordinate te tri točke u pravokutnom
koordinatnom sustavu
T 1 = (x 1 , y 1 , z 1 ), T 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ), T 3 = (x 3 , y 3 , z 3 ).
Od ovih devet koordinata nisu sve nezavisne. Kod krutog tijela su udaljenosti medu
česticama nepromjenjive, pa gornjih devet koordinata mora zadovoljavati slijedeće
tri relacije,
(x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 + (z 1 − z 2 ) 2 = d 1,2 = const.,
(x 1 − x 3 ) 2 + (y 1 − y 3 ) 2 + (z 1 − z 3 ) 2 = d 1,3 = const., (14.1)
(x 2 − x 3 ) 2 + (y 2 − y 3 ) 2 + (z 2 − z 3 ) 2 = d 2,3 = const..
tj. samo je šest koordinata nezavisno (bilo kojih šest koordinata), dok su preostale
tri koordinate odredene gornjim trima jednadžbama. Zaključujemo da kruto tijelo
ima šest stupnjeva slobode.
(A-2) Do istog se rezultata dolazi i drukčijim razmišljanjem. Gibanje slobodnog krutog
tijela možemo zamisliti kao kombinaciju translacijskog gibanja i vrtnje. Kad bi
se tijelo gibalo samo translacijski, položaj jedne točke tijela bi (zbog uvjeta krutosti)
odredivao položaj cijelog tijela. Položaj te točke je odreden s tri stupnja slobode, tj.
cijelo kruto tijelo bi imalo tri stupnja slobode. Kada bi se tijelo samo vrtilo, njegov
bi položaj bio odreden s dva kuta, θ(t) i ϕ(t), koji odreduju smjer osi vrtnje i treći
kut Ψ(t) koji odreduje zakret tijela oko osi. To sve skupa daje tri stupnja slobode