KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

6.5. PRISILNI TITRAJI HARMONIJSKOG OSCILATORA 143
Pomoću rješenja (6.28) i gornja dva rješenja za x (c)
P
dolazi se do partikularnog rješenja jednadžbi (6.26) u obliku (6.27)
x P (t) = C 0
2 m ω 2 0
+
∞∑
j=1
C j
i x (s)
P
, jednostavnim zamjenama iz (6.29),
[
] [
]
cos jωt − Φ(j ω) + S j sin jωt − Φ(j ω)
√
] ,
2
m 4γ 2 (j ω) 2 +
[ω0 2 − (j ω) 2
i, dodavanjem rješenja homogene jednadžbe, do općeg rješenja
[
] [
]
x(t) = x H (t) + C ∞∑ C j cos jωt − Φ(j ω) + S j sin jωt − Φ(j ω)
0
+
√
2 m ω0
2 ] ,
2
j=1
m 4γ 2 (j ω) 2 +
[ω0 2 − (j ω) 2
gdje su faze Φ(j ω) zadane sa
tan Φ(j ω) =
2 γ j ω , 0 ≤ Φ ≤ π. (6.35)
ω0 2 − j 2 ω2 Kao što smo pokazali u prethodnom odjeljku, sva rješenja homogene jednadžbe eksponencijalno
trnu s vremenom kao e −γ t , i zato su važna samo u kratkom vremenskom intervalu nakon
uključivanja vanjske sile - zovu se tranzijentna ili prijelazna rješenja zato jer opisuju prijelazni
režim titranja harmonijskog oscilatora (prijelaz iz režima kada ne djeluje vanjska sila, u
režim kada vanjska sila počinje djelovati)
lim x H(t) = 0.
t→∞
To je razlog zašto izvan tog prijelaznog vremenskog intervala, možemo zanemariti utjecaj homogenog
rješenja i smatrati da je gibanje harmonijskog oscilatora odredeno samo partikularnim
rješenjem. Ovo partikularno rješenje se naziva i stacionarno rješenje, zato jer je to ono
rješenje koje se opaža u dugom vremenskom intervalu nakon početka djelovanja vanjske sile.
Vidimo da sada čestica titra frekvencijom vanjskog polja, uz pomak u fazi Φ j , a taj je pomak
uzrokovan silom prigušenja opisanom koeficijentom γ = β/(2m). Zbog otpora čestica sredstva,
harmonijski oscilator ne može točno slijediti titranje vanjske sile, nego malo kasni za njim.
Rezonancija
Radi jednostavnosti dalje analize, ograničimo se na jednostavnu periodičnu silu čiji je samo
jedan koeficijent, neka to bude C 1 ≡ F 0 iz (6.26), različit od nule. Promotrimo amplitudu
(6.33) stacionarnog titranja (slika 6.7)
A(ω) =
f 0
√
4γ2 ω 2 + (ω 2 0 − ω 2 ) 2 , f 0 = F 0
m .
Primjećujemo da amplituda ovisi o kružnoj frekvenciji vanjskog polja, A = A(ω), i da je najveća
na frekvenciji koju ćemo nazvati rezonantnom kružnom frekvencijom ω R
dA
dω ∣ = 0 ⇒ ωR 2 = ω0 2 − 2γ 2 f 0
⇒ A max = A(ω R ) =
ω=ωR 2γ √ ω0 2 − γ . (6.36)
2
Blizu ove kružne frekvencije, amplitude titranja harmonijskog oscilatora su vrlo velike i mogu