KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

144POGLAVLJE 6. GIBANJE POD DJELOVANJEM ELASTIČNE SILE: HARMONIJSKI OSCILATOR I MATEMATIČK
Slika 6.7: Amplituda titraja, (6.33), u slučaju rezonancije s prigušenjem, za ω 0 = 2 Hz.
0.8
γ = 0.3 Hz
γ = 0.5 Hz
γ = 1.0 Hz
γ = 2.0 Hz
0.6
A (ω) / f 0
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5
ω
oštetiti 5 sam sustav koji titra. Ta se pojava naziva rezonancija. Izraz za amplitudu može se
napisati i preko ω R
A(ω) =
=
f 0
√
4γ2 ω 2 + (ω 2 0 − ω 2 ) 2 = f 0
√
4γ2 ω 2 + (ω 2 0 − 2γ 2 + 2γ 2 − ω 2 ) 2
f
√ 0
4γ2 ω 2 + [(ωR 2 − ω2 ) + 2γ 2 ] = · · · = f
√ 0
. (6.37)
2 4γ2 (ω0 2 − γ 2 ) + (ω 2 − ωR 2 )2
Granične vrijednosti amplitude za male i velike frekvencije, slijede iz (6.33)
A(ω → 0) =
f 0
√
ω
4
0 + 0 = f 0
ω 2 0
= const.,
A(ω → ∞) =
f 0
√
ω4 + 0 = f 0
ω 2 → 0.
Iako graf A(ω) nije simetričan u varijabli ω, on je simetričan oko ω R u varijabli ω 2 . Neka je
ω 2 = ω 2 R ± ∆ 2 , tada je prema (6.37)
pa je
A(ω 2 = ω 2 R ± ∆ 2 ) =
f 0
√
4γ2 (ω 2 0 − γ 2 ) + (ω 2 R ± ∆ 2 − ω 2 R )2 = f 0
√
4γ2 (ω 2 0 − γ 2 ) + ∆ 4 ,
A(ω 2 = ω 2 R + ∆ 2 ) = A(ω 2 = ω 2 R − ∆ 2 ).
Gornja relacija vrijedi za 0 ≤ ∆ ≤ ω R , kako bi ω 2 = ω 2 R ± ∆ 2 bilo uvijek pozitivno ili nula.
5 Vjerojatno najpoznatiji primjer destruktivnog učinka rezonancije je rušenje Tacoma mosta. Ovaj viseći most je pušten u promet
1. VII 1940., a spajao je dvije strane zaljevskog tjesnaca Pudget Sound u američkoj državi Washington. Ukupna dužina mu je bila
od oko dva kilometra, a najveći raspon mosta je bio 853 m. Samo četiri meseca kasnije, 7. XI 1940., vjetar brzine od oko 60 km/h
ga je doveo u rezonantno torzijsko stanje titranja perioda oko 5 s. Budući da je cijelo je titranje trajalo oko sat vremena, svi koji su
se tada zatekli na mostu imali su dovoljno vremena da se maknu s njega, a bilo je vremena i za dolazak snimatelja koji su snimili
most za vrijeme titranja i rušenja. Dio snimka možete pogledati na http://www.youtube.com/watch?v=j-zczJXSxnw&feature=fvst
.