KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

14.4. LAGRANGEOVE JEDNADŽBE 399
Slika 14.3: Uz gibanje čestice po unutrašnjosti paraboloida.
i time ostajemo s dvije nezavisne poopćene koordinate: q 1 = ρ i q 2 = ϕ. Izračunajmo
sada kinetičku i potencijalnu energiju, i pomoću njih konstruirajmo Lagrangeovu
funkciju:
E k = m v 2
= m 2 2 (ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 ), E p = m g z
Prijelazom iz pravokutnih u cilindrične koordinate
x = ρ cos ϕ, ẋ = ˙ρ cos ϕ − ρ ˙ϕ sin ϕ
y = ρ sin ϕ, ẏ = ˙ρ sin ϕ + ρ ˙ϕ cos ϕ
z = 1 a 0
ρ 2 , ż = 2 a 0
ρ ˙ρ ,
dobije se Lagrangeova funkcija L = E k − E p u obliku
L(ρ, ϕ, ˙ρ , ˙ϕ ) = m (
˙ρ 2 + ρ 2 ˙ϕ 2 + 4 )
ρ 2 ˙ρ 2 − m g ρ 2 .
2
a0
2
a 0
Sada možemo postaviti obje Lagrangeove jednadžbe (14.16)
( )
d ∂ L
− ∂ L = 0,
d t ∂ ˙q s ∂ q s
tako što ćemo redom izračunati derivacije koje se u njima pojavljuju
∂ L
= m (
2 ˙ρ + 4 )
ρ 2 2 ˙ρ ,
∂ ˙ρ 2 a0
2
∂ L
= m (
2ρ ˙ϕ 2 + 4 )
2 ρ ˙ρ 2 − m g 2 ρ,
∂ ρ 2
a0
2
a 0
∂ L
∂ ˙ϕ = m 2 ρ 2 2 ˙ϕ ,
∂ L
∂ ϕ = 0