KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

358 POGLAVLJE 13. PROSTORNO GIBANJE KRUTOG TIJELA
Momenti tromosti I α,α i centrifugalni momenti I α,β jesu elementi jednog tenzora drugog reda
koji se zove tenzor tromosti krutog tijela.
Fizičko značenje momenata tromosti se vidi iz relacije (12.10): oni se pojavljuju u izrazu za
kinetičku energiju vrtnje oko nepomične osi, dakle rad koji treba utrošiti da bi se tijelo dovelo u
odredeno stanje vrtnje je srazmjeran momentu tromosti oko te osi. No, koje je fizičko značenje
umnožaka tromosti? Sjetimo se da na svaku česticu mase m koja se vrti, djeluje centrifugalna
sila (8.4)
⃗F cf = ⃗a cf m = −⃗ω × (⃗ω × ⃗r) m.
Ta sila djeluje po pravcu okomitom na os vrtnje, a u smjeru od osi vrtnje. Ova centrifugalna
sila djeluje i na sve čestice od kojih je sastavljeno kruto tijelo. No, zbog krutosti krutog
tijela, njegove se čestice ne mogu slobodno gibati, nego se sila na čestice, prenosi na cijelo
tijelo. Ako su čestice krutog tijela rasporedene simetrično u odnosu na os vrtnje, sve će se
ove sile medusobno poništiti i rezultantna sila na kruto tijelo će biti jednaka nuli . Naprotiv,
ako su čestice rasporedene nesimetrično u odnosu na os vrtnje, one se neće sve medusobno
poništiti, nego će preostati rezultantna sila u smjeru okomitom na os vrtnje. S obzirom da
je okomita na os vrtnje, očito je da će ova sila izazvati promjenu smjera osi vrtnje.
Uvjerimo se u ispravnost ovog razmišljanja slijedećim računom: neka se u nekom početnom
vremenskom trenutku tijelo vrti oko osi ⃗ω i neka je koordinatni sustav postavljen tako da je
⃗ω = ωẑ . Izračunajmo ukupni moment centrifugalnih sila koje djeluju na sve čestice krutog
tijela (ponovo koristimo identitet A ⃗ × ( B ⃗ × C ⃗ ) = ( A ⃗ C ⃗ ) B ⃗ − ( A ⃗ B ⃗ ) C ⃗ )
⃗M cf =
N∑
j=1
= −
= −
⃗r j × ⃗ F j,cf = −
N∑
j=1
N∑
j=1
m j ⃗r j ×
= −ˆx ω 2 N
∑
N∑
j=1
m j ⃗r j ×
]
[(⃗ω ⃗r j ) ⃗ω − ω 2 ⃗r j = −
[
]
⃗ω × (⃗ω × ⃗r j )
N∑
j=1
m j (ωz j ) (x j ˆx + y j ŷ + z j ẑ ) × ω ẑ = −
j=1
= M cf,x ˆx − M cf,y ŷ ,
m j y j z j + ŷ ω 2
N
∑
j=1
gdje su komponente momenta centrifugalne sile jednake
]
m j
[(⃗ω ⃗r j ) (⃗r j × ⃗ω ) − ω 2 (⃗r j × ⃗r j )
} {{ }
N∑
j=1
m j x j z j = ω 2 (ˆx I yz − ŷ I xz )
M cf,x = ω 2 I yz , M cf,y = ω 2 I xz .
= 0
m j (ωz j ) (ˆx y j ω − ŷ x j ω)
Ako se u početnom trenutku tijelo okretalo oko osi z, pojavljuju se momenti centrifugalne sile
koji zakreću tijelo u okomitom smjeru u odnosu na os vrtnje (u našem primjeru su to x i y
smjerovi). Da bi se tijelo sve vrijeme okretalo oko osi z, potrebno je vanjskim silama fiksirati os
vrtnje (kao što je to prikazano na slici 12.13). Ovaj moment sile iščezava, samo ako je raspodjela
masa simetrična prema početnoj osi vrtnje, tj. ako je I yz = I xz = 0 (simetrična raspodjela mase
znači da u gornjem zbroju za I yz i I xz ima jednako mnogo pozitivnih i negativnih doprinosa
istog iznosa). U tom je slučaju dovoljno tijelo fiksirati u jednoj točki i ono će se trajno vrtjeti
oko početne osi. Ako ovakva os prolazi i središtem mase krutog tijela, tada je ona i glavna os