KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

298 POGLAVLJE 11. MALI TITRAJI SUSTAVA ČESTICA
Gornju determinantu prepoznajemo kao Det M N−2 , pa smo tako došli do rekurzijske relacije
Det M N = c 0 Det M N−1 − Det M N−2 . (11.5)
Determinante za N = 1 i N = 2 je trivijalno izračunati
Det M N=1 = c 0 Det M N=2 = c 0 -1
−1 c 0
= c 2 0 − 1.
Gornje determinante uvrštene u rekurziju (11.5) za N = 2, daju Det M N=0 = 1. Pretpostavimo,
nadalje, da se Det M N može napisati u obliku potencije
za p koji treba odrediti iz rekurzije (11.5):
Det M N = p N ,
p N = c 0 p N−1 − p N−2 ,
0 = p N−2 (p 2 − c 0 p + 1),
p ± = 1 ( √ )
c 0 ± c 2 0 − 4 .
2
Nazovimo c 0 = 2 cos α. U tom slučaju je p ± = exp(± i α). Dobila su se dva rješenja za p, pa
je ukupno rješenje linearna kombinacija oba ova rješenja
Det M N = a e +iNα + b e −iNα = A cos(Nα) + B sin(Nα).
Koeficijenti A i B se odreduju iz poznavanja Det M N=0 = 1 i Det M N=1 = c 0 = 2 cos α
N = 0 ⇒ A · 1 + B · 0 = 1, ⇒ A = 1
N = 1 ⇒ 1 · cos α + B sin α = 2 cos α, ⇒ B = cos α
sin α .
Sada se može napisati i opće rješenje sustava od N čestica koje titraju
Det M N = cos(Nα) + cos α
sin α cos(Nα) + cos α sin(Nα)
sin(Nα) =
sin α sin α
=
sin(N + 1)α
,
sin α
pri čemu je cos α = 1 − mω 2 /(2K). Prisjetimo se da je uvjet za postojanje rješenja ψ j ≠ 0
bio Det M N = 0. Prema gornjoj relaciji taj je uvjet zadovoljen za N različitih diskretnih
vrijednosti kuta α
(N + 1)α = nπ, n = 1, 2, · · · , N, (11.6)
α = α n = n π
N + 1 .
Budući da su frekvencije titranja sustava čestica povezane s kutom α relacijom cos α = 1 −
mω 2 /(2K), to svakom kutu α n odgovara jedna frekvencija titranja sustava
√ √
2K K
ω n =
m (1 − cos α n) = 2
m sin n π
, n = 1, 2, · · · , N. (11.7)
2(N + 1)
Ove se frekvencije nazivaju svojstvene frekvencije sustava. U nastavku ćemo pokazati,
relacijom (11.23), da je svako titranje sustava (koje ovisi o početnim uvjetima) moguće napisati
u obliku linearne kombinacije titranja svojstvenim frekvencijama. Izolirani harmonijski oscilator
titra samo jednom frekvencijom √ K/m, dok sustav od N vezanih harmonijskih oscilatora,