KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

13.3. GIBANJE ZEMLJE 367
Slika 13.5: Projekcija osi vrtnje ˆω (t) na vektor ⃗ L se ne mijenja u vremenu.
i Eulerove jednadžbe glase
I 1 ˙ω 1 + (I 3 − I 1 ) ω 2 ω 3 = 0,
I 1 ˙ω 2 + (I 1 − I 3 ) ω 1 ω 3 = 0,
I 3 ˙ω 3 = 0.
U ovom slučaju, a kao posljedicu simetrije I 1 = I 2 , vidimo da postoji i četvrta konstanta
gibanja. Naime iz posljednje od gornjih jednadžba zaključujemo da je treća komponenta kutne
brzine vrtnje konstantna
ω 3 = const. ≡ Ω 3 .
Tada se preostale dvije jednadžbe mogu napisati u obliku
˙ω 1 + I 3 − I 1
I 1
ω 2 Ω 3 = 0, (13.13)
˙ω 2 − I 3 − I 1
I 1
ω 1 Ω 3 = 0.
To je sustav od dvije vezane diferencijalne jednadžbe prvog reda, za nepoznate funkcije ω 1 (t)
i ω 2 (t). Vremenskom derivacijom druge od gornjih jednadžba i uvrštavanjem prve, dobiva se
diferencijalna jednadžba drugog reda, ali se u njoj pojavljuje samo jedna funkcija, ω 2 (t)
( ) 2
I 3 − I 1
¨ω 2 + Ω 3 ω 2 = 0. (13.14)
I 1
Gornju jednadžbu prepoznajemo kao jednadžbu slobodnog jednodimenzijskog harmonijskog
oscilatora (6.2) s općim rješenjem
ω 2 = A cos ω 0 t + Ω ⊥ sin ω 0 t,