KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

14.7. HAMILTONOVO NAČELO 405
Primjetimo sada da je
d Ψ(⃗r, t)
d t
=
∂ Ψ(⃗r, t)
∂ x
ẋ +
∂ Ψ(⃗r, t)
∂ y
ẏ +
∂ Ψ(⃗r, t)
∂ z
ż +
∂ Ψ(⃗r, t)
∂ t
= ˙⃗r( −→ ∇Ψ) +
∂ Ψ(⃗r, t)
.
∂ t
Iz gornjeg izraza zaključujemo da gauge preobrazba mijenja lagranžijan tako što mu pribroji
potpunu vremensku derivaciju gauge funkcije Ψ, pomnoženu s nabojem Q
L → L + Q
d Ψ(⃗r, t)
.
d t
14.7 Hamiltonovo načelo
Pokažimo sada vezu koja postoji izmedu Lagrangeovih jednadžba i jednog dijela matematike
koji se zove varijacijski račun. Ova veza će nam ukazati na jedan drukčiji način na koji se
može gledati na izvod i smisao Lagrangeovih jednadžba gibanja.
Osnovni i najjednostavniji problem varijacijskog računa, jeste odgovoriti na slijedeće pitanje:
kako naći funkciju y = Y (x)
koja povezuje točke x = a i x = b (slika 14.4), a ima svojstvo da je integral
Slika 14.4: Uz varijacijski račun.
I =
∫ b
a
F (y, y ′ ; x) dx (14.23)
ekstreman, tj. maksimalan ili minimalan.
S y ′ je označena derivacija dy/dx, a F označava neku funkciju od y, y ′ i x. Sama funkcija y se
tada zove ekstrem. Ako je y = Y (x) funkcija koja čini gornji integral ekstremnim, neka je tada
y = Y (x) + δY (x) ≡ Y (x) + ɛ η(x)