KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

306 POGLAVLJE 11. MALI TITRAJI SUSTAVA ČESTICA
Rubni uvjeti:
x = 0 ⇒ ψ(0, t) = 0 = a 1 (a 2 cos kv f t + b 2 sin kv f t) ⇒ a 1 = 0,
x = L ⇒ ψ(L, t) = 0 = b 1 sin kL(a 2 cos kv f t + b 2 sin kv f t) ⇒ kL = π, 2π, · · · .
Valni broj može poprimati samo diskretne vrijednosti odredene jednadžbom
k = k n = nπ L
, n = 1, 2, · · · (11.17)
(n ne može biti jednako nuli, jer su i k i L veći od nule). Time smo dobili niz rješenja za svaku
pojedinu vrijednost n. Uz redefiniciju konstanata b 1 a 2 → a i b 1 b 2 → b, ta rješenja glase
ψ n (x, t) = sin nπx (
a cos nπv ft
L L
+ b sin nπv )
ft
.
L
Periodičnost:
Rješenje ψ n (x, t) je napisano preko sinusa i kosinusa koje se periodične funkcije, pa će zato i
ψ n (x, t) biti periodična funkcija. Označimo prostornu periodičnost ψ n (x, t) sa λ,
a vremensku periodičnost sa T
ψ n (x, t) = ψ n (x + λ, t), (11.18)
ψ n (x, t) = ψ n (x, t + T ). (11.19)
Prostorna ovisnost ψ n (x, t) je sadržana u članu sin(nπx)/L, pa se λ odreduje iz
sin nπ L x = sin nπ nπx
(x + λ) = sin
L L
Gornja je jednadžba zadovoljena ako je
tj. ako je
nπλ
L
cos nπλ
L
nπλ
cos
L
+ cos nπx
L
= 1, sin
nπλ
L = 0,
= 2π · m, m = 1, 2, · · · ,
λ = 2L n m.
nπλ
sin
L .
No, λ sa m = 2 je dvostruka vrijednost od λ sa m = 1, itd. Budući da je period najmanja
vrijednost λ koja zadovoljava (11.18), to zaključujemo, da je za svaki dani n
λ = λ n = 2L n
, n = 1, 2, . . . .
Periodičnost u prostoru se naziva valna duljina, i u ovom primjeru ona može poprimiti
samo diskretan niz vrijednosti, odreden gornjom relacijom. U skladu s (11.17), valna duljina
je relacijom
k n · λ n = 2 π