KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

7.3. DIVERGENCIJA I ROTACIJA GRAVITACIJSKOG POLJA 185
(a kao što znamo iz (7.24), to je i polje kugle, ako je r veće od polumjera kugle).
Raspisano po komponentama pravokutnog koordinatnog sustava
g x =
x
−G m
(x 2 + y 2 + z 2 ) , 3/2
g y =
y
−G m
(x 2 + y 2 + z 2 ) , 3/2
g z =
z
−G m
(x 2 + y 2 + z 2 ) . 3/2
Komponente rotacije u pravokutnim koordinatama su
(
−→ ∂ gz
∇ × ⃗g = ˆx
∂ y − ∂ g ) (
y ∂ gx
+ ŷ
∂ z ∂ z − ∂ g )
z
+ ẑ
∂ x
( ∂ gy
∂ x − ∂ g )
x
.
∂ y
Izravnom derivacijom se lako dobije da je svaka od okruglih zagrada jednaka nuli
−→ ∇ × ⃗g = 0.
−→
Da bismo izračunali divergenciju gravitacijskog polja, ∇⃗g (⃗r), trebamo najprije primjetiti da
operator nabla djeluje na koordinatu ⃗r (a ne na ⃗r ′ ) na desnoj strani relacije (7.28). Ovo
ćemo naglasiti time što ćemo (samo u ovom odjeljku) umjesto −→ ∇ pisati −→ ∇ r . Integrira se po
koordinati ⃗r ′ , pa je dozvoljeno komutirati integraciju i −→ ∇ r
∫
−→ ∇ r ⃗g = −G ρ m (⃗r ′ ) −→ ⃗r − ⃗r ′
∇ r
|⃗r − ⃗r ′ | 3 d3 r ′ .
Neka je ⃗r ≠ ⃗r ′ . Izračunajmo rezultat djelovanja −→ ∇ r
(
−→ ⃗r − ⃗r ′
∇r = ˆx ∂
|⃗r − ⃗r ′ | 3 ∂ x + ŷ ∂
∂ y + ẑ ∂ ) ˆx (x − x ′ ) + ŷ (y − y ′ ) + ẑ (z − z ′ )
(7.30)
∂ z [(x − x ′ ) 2 + (y − y ′ ) 2 + (z − z ′ ) 2 ] 3/2
= ∂
x − x ′
∂ x [(x − x ′ ) 2 + (y − y ′ ) 2 + (z − z ′ ) 2 ] 3/2
+ ∂
y − y ′
∂ y [(x − x ′ ) 2 + (y − y ′ ) 2 + (z − z ′ ) 2 ] 3/2
+ ∂
z − z ′
∂ z [(x − x ′ ) 2 + (y − y ′ ) 2 + (z − z ′ ) 2 ] 3/2
(
1
=
|⃗r − ⃗r ′ | − 3(x − ˆx ) (
′ ) 2 1
+
3 |⃗r − ⃗r ′ | 5 |⃗r − ⃗r ′ | − 3(y − ŷ ) (
′ ) 2 1
+
3 |⃗r − ⃗r ′ | 5 |⃗r − ⃗r ′ | − 3(z − ẑ )
′ ) 2
3 |⃗r − ⃗r ′ | 5
= 0.
Izračunajmo sada
∫
d 3 r −→ ∇ r
⃗r − ⃗r ′
|⃗r − ⃗r ′ | 3