KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

308 POGLAVLJE 11. MALI TITRAJI SUSTAVA ČESTICA
tj. ako je (nπv f t)/L = 2π·m. Slično kao i gore, periodičnost za m = 2, 3, · · · itd. su višekratnici
periodičnosti za m = 1, pa je zato periodičnost odredena s m = 1, tj.
Vremenski period je takoder diskretan.
T = T n = 2L
nv f
, n = 1, 2, . . . .
ν = 1 T ,
Kutna brzina ω n se definira kao
Frekvencijom se naziva inverzna vrijednost T
ω n = 2πν n = nv fπ
L
ν n = 1 T n
= nv f
2L .
Umnožak valne duljine i frekvencije daje faznu brzinu vala v f
ν n · λ n = v f .
Ovu brzinu nazivamo faznom brzinom, zato jer ona (kao što ćemo vidjeti u slijedećem odjeljku)
opisuje brzinu širenja faze vala.
Zbog linearnosti i homogenosti valne jednadžbe i svaka linearna kombinacija rješenja ψ n (x, t)
je takoder rješenje. Zato je opće rješenje oblika
∞∑
ψ(x, t) = sin nπx (
a cos nπv ft
L L
+ b sin nπv )
ft
(11.20)
L
n=1
∞∑ (
)
= sin k n x a cos ω n t + b sin ω n t .
n=1
Gornja granica u zbroju je beskonačno, zato jer sustav tretiramo kao kontinuiran. Realno, kada
se govori o titrajima kristalne rešetke, postoji najmanji razmak medu susjednim čvorovima
rešetke koji odreduje najmanju moguću valnu duljinu, tj. najveći mogući n. Gornja jednadžba
je istog oblika kao i (11.9), s tom razlikom što je ovdje položaj u prostoru kontinuirana varijabla
x, dok je tamo bio diskretna varijabla j i frekvencije titranja su drukčije.
Početni uvjeti:
Preostale dvije nepoznate konstante, a i b, ćemo odrediti iz početnih uvjeta (11.16): položaja
f 0 (x), i brzine g 0 (x), niti u trenutku t = 0, koristeći se Fourierovom analizom (dodatak C):
∞∑
L
∫ L
0
ψ(x, t = 0) = f 0 (x) =
n=1
f 0 (x) sin mπx
L dx = ∞
∑
n=1
sin nπx
/∫
(a · 1 + b · 0),
L
∫ L
a sin mπx
nπx
sin
L L dx = L 2 a.
= (L/2) δ n,m
0
} {{ }
U gornjem je računu korištena funkcija Kronecker-delta, definirana izrazom
{ 1 m = n
δ m,n =
0 m ≠ n
0
sin mπx
L
dx