KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

140POGLAVLJE 6. GIBANJE POD DJELOVANJEM ELASTIČNE SILE: HARMONIJSKI OSCILATOR I MATEMATIČK
Jednadžba gibanja tada glasi
mẍ = −Kx − βẋ + F v (t).
Uz oznake ω 2 0 = K/m i 2γ = β/m, gornja jednadžba postaje linearna nehomogena diferencijalna
jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima
Zadajmo i početne uvjete
ẍ + 2 γ ẋ + ω 2 0 x = 1 m F v(t).
x(0) = x 0 , ẋ (0) = v 0 .
Opće rješenje nehomogene jednadžbe, x(t), je zbroj rješenja homogene jednadžbe x H (koje već
znamo iz prethodnog odjeljka) i partikularnog rješenja x P nehomogene jednadžbe, koje ćemo
sada izračunati
x = x H + x P .
No, prije toga primjetimo jednu posljedicu linearnosti gornje jednadžbe: ako se vanjska sila
može napisati kao zbroj dva člana, npr.
tada je i partikularno rješenje oblika
gdje je x P,1 partikularno rješenje jednadžbe
a x P,2 je partikularno rješenje jednadžbe
Zaista, ako se u jednadžbu
uvrsti za x = x P,1 + x P,2 , dobit će se
F v (t) = F v,1 (t) + F v,2 (t),
x P = x P,1 + x P,2 ,
ẍ P,1 + 2 γ ẋ P,1 + ω 2 0 x P,1 = 1 m F v,1(t), (6.23)
ẍ P,2 + 2 γ ẋ P,2 + ω 2 0 x P,2 = 1 m F v,2(t). (6.24)
ẍ + 2 γ ẋ + ω 2 0 x = 1 m F v,1(t) + 1 m F v,2(t)
(ẍ P,1 + ẍ P,2 ) + 2 γ (ẋ P,1 + ẋ P,2 ) + ω 2 0 (x P,1 + x P,2 ) = 1 m F v,1(t) + 1 m F v,2(t)
[
ẍ P,1 + 2 γ ẋ P,1 + ω0 2 x P,1 − 1 ] [
m F v,1(t) + ẍ P,2 + 2 γ ẋ P,2 + ω0 2 x P,2 − 1 ]
m F v,2(t) = 0.
No, x P,1 je rješenje od (6.23), a x P,2 rješenje od (6.24) i zato su obje gornje uglate zagrade
jednake nuli. Očito je da se gornje razmatranje može primjeniti i na slučaj kada je vanjska sila
dana u obliku zbroja proizvoljno mnogo članova
F v = ∑ j
F v,j .