KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

372 POGLAVLJE 13. PROSTORNO GIBANJE KRUTOG TIJELA
Slika 13.9: Uz definiciju Eulerovih kutova Φ, Θ i Ψ.
Treći korak: zakret oko osi Z ′ = z ′ za kut Ψ (slika 13.9.C)
ˆX ′ = ( ˆX ′ ˆx ′ )ˆx ′ + ( ˆX ′ ŷ ′ )ŷ ′ + ( ˆX ′ ẑ ′ )ẑ ′ = ˆx ′ cos Ψ + ŷ ′ cos( π 2 + Θ) + ẑ ′ cos π 2
= ˆx ′ cos Ψ − ŷ ′ sin Ψ,
Ŷ ′ = (Ŷ ′ ˆx ′ )ˆx ′ + (Ŷ ′ ŷ ′ )ŷ ′ + (Ŷ ′ ẑ ′ )ẑ ′ = ˆx ′ cos( π 2 − Ψ) + ŷ ′ cos Ψ + ẑ ′ cos π 2
= ˆx ′ sin Ψ + ŷ ′ cos Ψ,
Ẑ ′ = (Ẑ ′ ˆx ′ )ˆx ′ + (Ẑ ′ ŷ ′ )ŷ ′ + (Ẑ ′ ẑ ′ )ẑ ′ = ˆx ′ cos π 2 + ŷ ′ cos π 2 + ẑ ′ cos 0
= ẑ ′ ,
ili, u matričnom zapisu
⎡ ⎤ ⎡
ˆX ′
⎣ Ŷ ′ ⎦ = E Ψ
⎣ ˆx ′
ŷ ′
Ẑ ′
ẑ ′
⎤
⎡
⎦ , E Ψ = ⎣
cos Ψ − sin Ψ 0
sin Ψ cos Ψ 0
0 0 1
⎤
⎦ .
Sada ćemo, pomoću gornjih relacija, povezati jedinične vektore (ˆx , ŷ , ẑ ) sa jediničnim vektorima
(ˆx ′ , ŷ ′ , ẑ ′ ).
Uzastopnom primjenom gornjih relacija, možemo povezati sustav (x, y, z) sa sustavom (x ′ , y ′ , z ′ )
⎡
⎣ ˆx ŷ
ẑ
⎤
⎡
⎦ = E Φ E Θ E Ψ
⎣ ˆx ′
ŷ ′
ẑ ′
⎤
⎦ . (13.15)
Iz gornjeg izraza možemo izvesti i inverznu relaciju, invertiranjem matrica
⎡
⎣ ˆx ⎤
⎡
′
ŷ ′ ⎦ = E −1
ẑ ′
Ψ E −1
Θ E −1 ⎣ ˆx ⎤
Φ
ŷ ⎦ . (13.16)
ẑ