KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

5.4. SILE OVISNE O BRZINI: (1) SILA PRIGUŠENJA 111
koja ima smjer suprotan smjeru gibanja čestice. Najčešća aproksimacija se sastoji u tome da
se pretpostavi da je sila otpora srazmjerna nekoj potenciji brzine, v(t), čestice,
⃗F prig = −ˆv β v n , β > 0
β je pozitivna konstanta srazmjernosti koja, osim što prilagodava mjerne jedinice na lijevoj
i desnoj strani, opisuje (eksperimentalno) svojstva medija u kojem se odvija gibanje i oblik
(geometriju) tijela koje se giba.
5.4.1 Slobodan pad
Pogledajmo kako se mijenja jednadžba gibanja čestice u konstantnom polju gravitacijske sile,
kada uključimo i djelovanje otpora zraka, kada je otpor srazmjeran prvoj potenciji brzine.
Jednadžba gibanja sada ima dva člana na desnoj strani
m d 2 ⃗r
dt 2 = −mgẑ + ⃗ F prig = −mgẑ − β⃗v.
Za razliku od (5.8), gdje se masa kraćenjem nestala iz jednadžbe, u gornjoj jednadžbi ostaje
masa, tj. neće se tijela različitih masa gibati na isti način (što nam je blisko iz svakodnevnog
iskustva). Gornju jednadžbu još treba nadopuniti početnim uvjetima:
t 0 = 0 : ⃗r(0) = ẑ z 0 , ⃗v(0) = ẑ v 0 .
Raspisane po komponentama, jednadžbe gibanja glase
mẍ = −βẋ , mÿ = −βẏ , m¨z = −mg − βż .
Primjetimo da se tijekom padanja, z koordinata čestice smanjuje, tako da je dz < 0 dok je
dt > 0, pa je ż = dz/dt < 0.
Gornje su jednadžbe medusobno nezavisne, pa se može rješavati svaka posebno. Jednadžbe i
početni uvjeti za x i y komponentu su istog oblika, pa će i rješenja biti istog oblika. Riješimo
zato samo jednadžbu za komponentu x. Uvedimo novu varijablu v x = ẋ , u kojoj jednadžba za
komponentu x glasi
∫ vx (t)
v x (0)
m dv x
= −βv x
dt
dv x
= − β /∫ t
v x m dt
ln v x(t)
v x (0)
dv x
v x
= − β m
= − β m t
∫ t
0
dt
v x (t) = v x (0) e −β t/m .
No, prema početnim je uvjetima, u početnom trenutku, x komponenta brzine jednaka nuli,
v x (0) = 0, pa iz toga slijedi
v x (t) = 0.
0