KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

14 POGLAVLJE 2.
MATEMATIČKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RAČUNA
Slika 2.4: Uz skalarno vektorski umnožak.
gdje je α kut izmedu vektora ⃗ V i ⃗ U × ⃗ W , a to nije ništa drugo do volumen paralelopipeda sa
stranicama ⃗ V , ⃗ U i ⃗ W (slika 2.4).
Rezultat dvostrukog vektorskog umnoška tri nekomplanarna vektora ⃗ V , ⃗ U i ⃗ W je opet vektor
−→ D = ⃗ V × ( ⃗ U × ⃗ W )
Ovakav se umnožak naziva vektorsko vektorski umnožak. Budući da je U ⃗ × W ⃗ vektor
okomit na ravninu odredenu vektorima U ⃗ i W ⃗ , to će vektor V ⃗ × ( U ⃗ × W ⃗ ) ležati u toj istoj
ravnini, pa postoji zapis oblika
−→ D = ⃗ V × ( ⃗ U × ⃗ W ) = β ⃗ U + γ ⃗ W .
Naš je zadatak odrediti skalare β i γ. Promotrimo sliku 2.5. S ˆn je označen jedinični vektor
okomit na ⃗ W , koji leži u ( ⃗ U, ⃗ W ) ravnini, a usmjeren je tako da su ˆn , ⃗ U i ⃗ W zakrenuti u
pozitivnom smjeru gledano s vrha vektora ⃗ U × ⃗ W . Pomnožimo
ˆn · −→ D = ˆn · (β ⃗ U + γ ⃗ W ) = β ˆn · ⃗U,
(zato jer je ˆn okomit na ⃗ W , pa je ˆn · ⃗W = 0). S druge strane, taj isti umnožak možemo napisati
(zbog cikličnosti skalarno vektorskog umnoška) i kao
ˆn · −→ D = ˆn · [ ⃗ V × ( ⃗ U × ⃗ W )] = ( ⃗ U × ⃗ W ) · (ˆn × ⃗ V ) = ⃗ V · [( ⃗ U × ⃗ W ) × ˆn ].
No, prema definiciji vektorskog umnoška je
( ⃗ U × ⃗ W ) × ˆn = Ŵ |⃗ U × ⃗ W | |ˆn | sin( ⃗ U × ⃗ W , ˆn )
= Ŵ U W sin(⃗ U, ⃗ W ) 1 sin(π/2)
= Ŵ U W sin(⃗ U, ⃗ W ) = ⃗ W U sin( ⃗ U, ⃗ W ).