KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

366 POGLAVLJE 13. PROSTORNO GIBANJE KRUTOG TIJELA
a zatim ih zbrojiti
I 1 ˙ω 1 ω 1 + I 2 ˙ω 2 ω 2 + I 3 ˙ω 3 ω 3 + ω 1 ω 2 ω 3 (I 3 − I 2 + I 1 − I 3 + I 2 − I 1 )
} {{ }
Primjetimo da je ˙ω j ω j = 1 2
1
2
= 0
(d ω2 j /d t), pa gornji izraz možemo napisati kao
(
I 1
d ω 2 1
d t + I 2
d ω 2 2
d t + I 3
)
d ω3
2 = M
d t
⃗ · ⃗ω .
= M 1 ω 1 + M 2 ω 2 + M 3 ω 3 .
Prema relaciji za energiju (13.6), izraz u zagradi prepoznajemo kao vremensku promjenu kinetičke
energije vrtnje (tj. snagu vrtnje), pa gornji izraz kaže da je vremenska promjena kinetičke
energije vrtnje jednaka skalarnom umnošku ⃗ M · ⃗ω
d E k,vrt
d t
= ⃗ M · ⃗ω .
Gornja je jednadžba iste grade kao i (4.8). Ukoliko je moment vanjskih sila jednak nuli, ⃗ M = 0,
tada je i energija konstantna
d E k,vrt
d t
= 0 ⇒ E k,vrt = const.
Treća konstanta: projekcija osi vrtnje.
Iz činjenice da je kinetička energija konstantna, a pomoću relacije (13.4) zaključujemo da je
projekcija osi vrtnje ˆω (t) na konstantni vektor ⃗ L i sama konstantna (slika 13.5)
E k = 1 2 ⃗ω ⃗ L = const.
Drugim rječima, vrh vektora ⃗ω (t) opisuje tijekom vremena, neku krivulju po ravnini okomitoj
na vektor ⃗ L . Ta se ravnina zove invarijantna ravnina. Primjetimo da ta krivulja ne mora
biti kružnica, jer vektor ⃗ω (t) ne mora biti konstantnog iznosa - traži se samo da je njegova
projekcija na jedan konstantni vektor i sama konstantna. Gornja relacija kaže da projekcija
⃗ω (t) na ⃗ L (dakle umnožak ω cos(ˆω , ⃗ L )), mora biti u svakom trenutku ista. Opažač smješten
u sustav koji se vrti zajedno s krutim tijelom (ê 1 , ê 2 , ê 3 ) primjećuje da se vektor ⃗ω okreće oko
vektora ⃗ L (koji je, sjetimo se, konstantan). Taj zakret osi vrtnje ⃗ω (t) oko smjera ⃗ L se naziva
precesija.
13.3 Gibanje Zemlje
Jedan važan primjer krutog tijela koje se vrti uz moment vanjskih sila jednak nuli, je vrtnja
Zemlje oko svoje osi. Jedina vanjska sila koja djeluje na Zemlju je gravitacijska sila (od
Sunca i drugih planeta), ali ona djeluje na središte mase Zemlje, pa je njezin moment sile
jednak nuli. Zemlja nije savršeno kruto tijelo, jer ima tekuću jezgru, ali ćemo učinke te tekuće
jezgre na vrtnju Zemlje zanemariti. Takoder ćemo oblik Zemlje aproksimirati oblikom elipsoida
(spljoštene kugle). Označimo li smjer osi simetrije takvog tijela kao ê 3 , tada će biti I 1 = I 2 ≠ I 3